Частинні коефіцієнти кореляції

Раніше ми розглядали коефіцієнт кореляції R, що дає міру степеня лінійної асоційованості між двома змінними. Для моделі регресії з трьома змінними можемо підрахувати вже три коефіцієнти кореляції: R12 (кореляція між Y і X2), R13 (між Y і X3) і R23 (між X2 і X3). Відзначимо, що індекс 1 ми відносимо до Y, а 2 і 3 до X2 і X3 відповідно. Ці кореляційні коефіцієнти називаються простими кореляційними коефіцієнтами, або коефіцієнтами нульового порядку. Їх можна підрахувати за відомою формулою

.  

Розглянемо тепер, чи дійсно, скажімо, R12 дає “істинний” степінь лінійної асоційованості між Y і X2, коли третя змінна X3 асоційована з ними. Припустимо, що істинна модель регресії задається рівністю

.  

Ми не включатимемо в модель змінну X3i і побудуємо регресію Y тільки за X2 з кутовим коефіцієнтом b12. Чи буде цей коефіцієнт дорівнювати “істинному” коефіцієнту . У загальному випадку R12 не відображає істинний степінь асоційованості між Y і X2 у присутності X3. Як ми пізніше покажемо, він дає спотворене уявлення про природу асоціативності між Y і X2. Отже, нам потрібен такий коефіцієнт кореляції, який не залежав би від впливу X3 ні на X2, ні на Y. Такий кореляційний коефіцієнт можна отримати, і він називається частинним коефіцієнтом кореляції. Концептуально він аналогічний частинному коефіцієнту регресії. Частинні коефіцієнти кореляції вводяться таким чином:

- – частинний коефіцієнт кореляції між Y і X2 при постійному значенні X3;

- – частинний коефіцієнт кореляції між Y і X3 при постійному значенні X2;

- – частинний коефіцієнт кореляції між X2 і X3 при постійному значенні Y.

Один із шляхів визначення частинних коефіцієнтів кореляції полягає в такому. Регресуємо Y за X3 таким чином:

.  

Проводимо регресію Х2 за Х3:

.  

Звернемо увагу на те, що залишки є величиною після «звільнення» її від впливу змінної Х3. Аналогічно – величина після «звільнення» її від впливу змінної Х3. Тепер ми можемо регресувати за і тим самим знайти простий коефіцієнт кореляції , оскільки значення Х3 залишається постійним. Одержуємо

. (5.8.1)

При цьому ми врахували, що .

Із вищезазначеного зрозуміло, що частинний коефіцієнт кореляції між Y і Х2 при постійному Х3 є простий (нульового порядку) коефіцієнт кореляції між залишками від регресії Y за Х3 і Х2 за Х3 відповідно. Аналогічним чином інтерпретуються коефіцієнти кореляції і .

На практиці, проте, немає необхідності проводити цю процедуру, що складається з трьох етапів. Для обчислення частинних коефіцієнтів кореляції можна застосувати формули, що виражають їх через прості коефіцієнти кореляції:

; (5.8.2)
; (5.8.3)
. (5.8.4)

Визначені таким чином величини називаються коефіцієнтами кореляції першого порядку. Під порядком ми маємо на увазі кількість індексів, що стоять після крапки. Так – другого порядку, а – третього. Як наголошувалося раніше, і – прості або нульового порядку. Інтерпретація, скажімо, така, що існує коефіцієнт кореляції між Y і X2 при постійних значеннях X3 і X4.

 






Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 968; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.01 сек.