Свойства ковариации.

По свойству 1

3.Если X, Y независимы, то , (обратное неверно).

Если случайные величины независимы, то , тогда по свойству 1 .

Случайные величины называются некоррелированными, если , из некоррелированности не следует независимость, из независимости следует некоррелированность.

Коэффициентом корреляциислучайных величин X и Y.называется .

Можно показать, что , поэтому . Если , то говорят, что между X и Y существует положительная корреляция; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины, другая имеет тенденцию к возрастанию. Если , то говорят, что между X и Y существует отрицательная корреляция; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины другая имеет тенденцию к убыванию. Если , это означает, что случайные величины X и Y некоррелированны.

Если между случайными величинами X и Y существует линейная зависимость, то . Действительно, пусть . В этом случае

;

Тогда

Информацию о связи между компонентами X и Y системы (X,Y) несет корреляционная матрица , которая имеет вид

Матрица К является симметричной вследствие равенства .

Кроме корреляционного момента и коэффициента корреляции , взаимная связь двух случайных величин может быть описана с помощью линий регрессии.

Действительно, при каждом значении Х = х величина Y остается случайной величиной, допускающей рассеяние своих значений, однако зависимость Y от Х сказывается также в изменении средних значений Y при переходе от одного значения X к другому. Эту зависимость и описывает кривая регрессии

Аналогично, зависимость X от Y, которая сказывается в изменении средних значений X при переходе от одного значения Y = y к другому, описывается кривой регрессии

Наиболее простым случаем будет тот, когда обе функции линейны, так что обе линии регрессии будут прямыми линиями; они называются прямыми регрессии. В этом случае будем говорить о линейной корреляции между случайными величинами X и Y.

Выведем уравнения прямых регрессии. Пусть MX = m_x, MY = m_y, D_x = , D_y = , K_xy – корреляционный момент случайных величин X и Y. Будем искать уравнение прямой регрессии Y на X в виде , где параметры A и B подлежат определению.

Взяв математическое ожидание от обеих частей последнего равенства и учитывая, что , имеем, что . Далее

, откуда .

Таким образом, в случае линейной корреляции уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

Аналогично уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид

Если учесть, что , то уравнения прямых регрессии могут быть переписаны в симметричной форме:

;

Из уравнений прямых регрессии (3.3.13) и (3.3.14) видно, что обе прямые проходят через точку (m_x,m_y). Угловые коэффициенты прямых регрессии равны соответственно:

, .

Так как , прямая регрессии Y на X имеет меньший угол наклона к оси Ох, чем прямая регрессии X на Y. Чем ближе к 1, тем меньше угол между этими прямыми; при = 1 прямые регрессии сливаются. При прямые регрессии имеют уравнения и , так что обе они параллельны соответствующим осям координат. В этом случае величины X и Y являются некоррелируемыми; для них , , т. е. условные математические ожидания совпадают с безусловными.