Критерий устойчивости Михайлова
Он был сформулирован А. В. Михайловым в 1936 году и базируется на принципе аргумента. При этом для анализа устойчивости рассматривается характеристический комплекс системы F(jw), который получается из характеристического полинома
(4.16)
заменой p на и имеет вид:
, (4.17)
где можно выделить вещественную и мнимую часть, а также амплитуду и фазу:
(4.18)
Для конкретного численного значения характеристический комплекс представляет собой комплексное число F(j , которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой
При изменении от 0 до конец вектора F(j ) выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографомМихайлова. Причем начинается годограф, как следует из соотношения (4.17), в точке с координатами{ ; j0}.
Рис. 4.8. Вид годографа Михайлова.
Формулировка критерия. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении от 0 до начинался на вещественной оси в точке и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к в n-ом квадранте.
Доказательство
Утверждение основано на расположении годографа Михайлова на комплексной плоскости, поэтому проанализируем, как связаны корни характеристического уравнения с видом F(j ). Поскольку полином (4.16) можно представить как произведение простейших сомножителей
F(p) = (p - ) (p - ), (4.19)
характеристический комплекс (4.17) также принимает вид:
F(j ) = (4.20)
Его можно представить в форме
(4.21)
Из выражений (4.18) и (4.21) следует, что
(4.22)
(4.23)
Если характеристическое уравнение системы содержит чисто мнимые корни, то, как следует из (4.22), при определенном значении частоты , так как при этом один из сомножителей обратится в ноль. В случае устойчивой системы корни расположены только в левой полуплоскости плоскости корней и не могут быть чисто мнимыми, следовательно, в ноль годограф Михайлова не обращается.
Определим теперь угол поворота вектора при изменении частоты от 0 до . Поскольку , в соответствии с (4.23), есть сумма отдельных , то рассмотрим угол поворота каждого сомножителя выражения (4.20).
* 1). Корень характеристического уравнения вещественный отрицательный; Соответствующий сомножитель в (4.20) имеет вид: ( ). Изобразим этот элементарный вектор на комплексной плоскости; при изменении от 0 до его вещественная часть остается неизменной и равна , а мнимая часть возрастает до бесконечности.
Как видим, угол поворота элементарного вектора, соответствующего устойчивому вещественному корню, равен
Рис. 4.9. Элементарный вектор, соответствующий
устойчивому вещественному корню
Если корень характеристического уравнения вещественный положительный, , то угол поворота элементарного вектора равен
* 2). Рассмотрим теперь пару устойчивых комплексно - cопряженных корней и соответствующий им угол поворота произведения
У этих двух векторов начальные фазы одинаковы по модулю ( ), но имеют противоположные знаки. При изменении от 0 до один вектор поворачивается на угол, равный , а второй - на угол
Суммарный угол поворота для пары устойчивых комплексно - сопряженных корней равен
Рис. 4.10. Векторы, соответствующие устойчивым
комплексно - сопряженным корням
Если комплексно - сопряженные корни имеют положительную вещественную часть, то суммарный угол поворота равен
Таким образом, в устойчивой системе каждый из n корней даст приращение фазы , а общий угол поворота согласно (4.23) равен , что и требовалось доказать. Вид годографа Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем третьего порядка приведен на рис. 4.11.
Рис. 4.11. Годограф Михайлова устойчивой и неустойчивой систем
Система будет находиться на границе устойчивости, если годограф Михайлова при некотором значении частоты обращается в ноль, то есть при выполнении условия:
(4.24)
Здесь частота 0 - есть частота незатухающих колебаний системы.
Пример 4.4
Оценить устойчивость системы, структурная схема которой имеет вид:
Определим передаточную функцию системы
и запишем ее характеристический полином
Заменой p на перейдем к выражению для годографа Михайлова
которое представим в форме
С целью построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой части при конкретных значениях частоты и занесем их в таблицу.
По данным таблицы построим годограф Михайлова.
Как видим, он проходит последовательно три квадранта, не обращаясь в ноль и стремясь к бесконечности в третьем квадранте. Следовательно, исследуемая система устойчива.
Рис. 4.13. Годограф Михайлова для исследуемой системы
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 246;