Одноканальная модель с ожиданием

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью . Интенсивность потока обслуживания равна (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

- «канал свободен»;

- «канал занят» (очереди нет);

- «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

…………………………………………………….

- «канал занят» (n -1 заявок стоит в очереди);

- «канал занят» (N - 1 заявок стоит в очереди). Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

(10)

где n – номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (10) для рассматриваемой модели СМО имеет вид

(11)

. (12)

Тогда

Заметим, что выполнение условия стационарности для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать ), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной :

- вероятность отказа в обслуживании заявки:

(13)

- относительная пропускная способность системы:

(14)

- абсолютная пропускная способность:

(15)

- среднее число находящихся в системе заявок:

(16)

- среднее время пребывания заявки в системе:

(17)

- средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

(18)

- среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

(19)

Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

Решение

1. Параметр потока обслуживании автомобилей:

2. Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей и , т. е.

3. Вычислим финальные вероятности системы:

4. Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:

5. Относительная пропускная способность поста диагностики:

6. Абсолютная пропускная способность поста диагностики

(автомобиля в час)

7. Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

8. Среднее время пребывания автомобиля в системе:

часа

9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

часа.

10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15,8% случаев