Метод наибольшего правдоподобия
Общие положения
Метод разработан датским математиком Р. Фишером и впервые в отечественной гидрологии применен С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем для определения параметров функций обеспеченности стока по исходным рядам с большим коэффициентом вариации. В дальнейшем большой вклад в развитие этого метода в гидрологии внес Е. Г. Блохинов [ ]
Метод основан на следующих положениях: пусть имеем выборку значений X объемом в п членов. Плотностью распределения вероятностей X является функция f(x, а), зависящая, допустим, от одного постоянного параметра а; если задан закон распределения и верно определен параметр а, то вероятность получить значения данного ряда X по параметру а является максимальной.
Функция правдоподобия – совместная плотность вероятности, или вероятность получить именно данную выборку при данном а в результате п опытов:
(5.19)
где П — знак произведения.
В случае, если случайная величина X — дискретная с возможными значениями ζ1, ζ2,..., ζl, а т1, т2, . . ., тl — соответственно число опытных значений X, равных ζ1, ζ2,..., ζl, то функция правдоподобия определяется соотношением
(5.20)
где pi(a) =p(X= ζ1).
В этом случае функция правдоподобия L есть не что иное, как вероятность совместного появления значений x1, x2, ..., хп при данном значении а.
Сущность метода максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра а выбирается такое значение, которое максимизирует функцию правдоподобия. Это значение является функцией x1, x2, ..., хп и называется оценкой наибольшего правдоподобия.
Отсюда, согласно известным правилам дифференциального исчисления, для нахождения оценки наибольшего правдоподобия необходимо решить уравнение
(5.21)
и отобрать то решение а = а(х1, х2,…, хп), которое обращает L в максимум.
Обычно в целях упрощения функцию правдоподобия заменяют ее логарифмом и рассматривают уравнение
(5.22)
При двух неизвестных параметрах a1 и а2 их оценки определяются по двум совместно решаемым уравнениям:
(5.23)
При т параметрах aj (j = 1, 2, ..., т) их оценки получают из решений системы т уравнений
(5.24)
Иногда на практике не удается получить решение в аналитическом виде и тогда для нахождения максимума функции правдоподобия прибегают к численным расчетам.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 167;