Преобразование случайных измерительных сигналов

Для устойчивых динамических измерительных систем при ограниченных случайных сигналах x(t) и при условии, что h(t)=0 для t<0 уравнение (4.6) можно записать в виде

(4.9)

то есть выходной случайный сигнал y(t) будет также ограничен.

Если x(t) – стационарный случайный сигнал, то его математическое ожидание M[x(t)]=m_x=const. Применяя операцию математического ожидания к уравнению (4.7) и учитывая, что эта операция переставима с интегрированием, получим

(4.10)

Рассмотрим случайный процесс x(t) с нулевым математическим ожиданием (m_x=0). Умножая правые и левые части уравнения (4.9) на и, беря операцию математического ожидания, получим

(4.11)

На основе коммутативности операций математического ожидания и интегрирования можно записать

или

(4.12)

Полученное уравнение связывает автокорреляционные функции сигналов на входе и выходе измерительного устройства или системы.

Если воспользоваться преобразованием Фурье, то можно установить связь между спектральными плотностями мощности сигналов на входе и выходе

Вводя новую переменную V=τ+η-ξ, получим

Используя соотношение вида

получим

(4.13)

То есть спектральная плотность мощности выходного сигнала представляет собой спектральную плотность мощности входного случайного сигнала умноженную на квадрат модуля комплексной чувствительности.

Аналогично связь взаимных корреляционных функций и спектральной плотности мощности сигналов на входе и выходе будут иметь вид

(4.14)

(4.15)

(4.16)

Полученные соотношения позволяют проводить анализ процессов преобразования случайных сигналов линейной измерительной системой.