Угол между двумя плоскостями
1.Пусть дана плоскость своим уравнением
=0 (1)
в прямоугольной системе координат .
Если (2),
(1), (2) (* ),
где . Обозначим
.
(*) , то есть имеет простой геометрический смысл: (см. § 8). Он называется вектором нормали плоскости .
Уравнение (4) § 8 определяет в этом случае множество точек, таких, что
,
то есть плоскость , проходящую через точку перпендикулярно вектору .
Условие параллельности вектора плоскости ( (1) из § 9) в прямоугольной системе координат становится очевидным: оно может быть записано в виде и, следовательно, означает что вектор должен быть ортогонален вектору плоскости .
Всякая прямая , перпендикулярная плоскости , называется нормалью к плоскости .
2.В прямоугольной системе координат дана плоскость уравнением =0 и точка не лежащая в этой плоскости. Определим расстояние от точки до плоскости .
Пусть - основание перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости . Вектор перпендикулярен плоскости и, следовательно, коллинеарен вектору . По определению скалярного произведения |
=
Учитывая, что
,
=
получаем:
= (3)
Так как , то и левая часть равенства (3) имеет вид .Таким образом, получаем
= (4)
3.Используя формулу (4), вычислим расстояние между параллельными плоскостями заданными в прямоугольной системе координат уравнениями
: , : , где
Отметим, что плоскости и действительно параллельны, так как они перпендикулярны одному и тому вектору , но не совпадают ( ).
Пусть - произвольная точка плоскости . Тогда, очевидно, = поэтому, пользуясь формулой (4) находим, что
= .
Так как . Таким образом, получаем
= . (5)
4.Пусть даны две пересекающиеся плоскости и своими уравнениями
: , :
в прямоугольной системе координат , то есть
.
Векторы являются векторами нормалей плоскостей и соответственно.
Углом между плоскостями и называется любой из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Угол равен линейному углу одного из двугранных углов, образованных плоскостями и , поэтому для решения задачи достаточно найти угол
2
| Плоскости и перпендикулярны тогда и только тогда, когда , то есть когда (6) |
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 182;