Различные способы задания плоскости
Вектор называется параллельным плоскости , если $ / .
1. Пусть - какая-либо плоскость в пространстве, точка - некоторая точка этой плоскости, а векторы - неколлинеарны и параллельны плоскости .
Точка Î когда векторы , компланарны, т.е. (u,v ) (1)
Таким образом, чтобы задать плоскость , достаточно задать одну её точку и пару неколлинеарных векторов и , параллельных плоскости. Плоскость |
, заданную точкой и векторами и , будем обозначать:
Формула (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел . Из определения координат точки на плоскости следует, что параметры u,v являются координатами точки относительно аффинной системы координат на плоскости .
Пусть какая-либо аффинная система в пространстве и относительно неё точки и имеют координаты: , Разложим векторы и по векторам базиса :
,
Так как векторы и не коллинеарны, то
rang . (*)
Сравнивая одноимённые координаты векторов в формуле (1), получим:
(2)
Обратно, (2) (1). Таким образом, уравнения (2) определяют плоскость в пространстве. Они называются параметрическими уравнениямиплоскости.
2. Из формулы (1) следует, что определитель системы векторов относительно базиса равен нулю
т.е. . (3)
(3) , (4)
где .
(4) , где . (5)
Уравнение (5) первой степени, так как в силу условия (*) по крайней мере одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Следовательно, всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно аффинной системы координат в пространстве.
Справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение (5) первой степени определяет некоторую плоскость в пространстве, если задана аффинная система координат .
ü Так как уравнение (5) первой степени, то по крайней мере одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Пусть А 0. Тогда уравнение (5) можно представить в виде:
.
Обозначив будем иметь:
,
причём ранг матрицы
,
составленный из коэффициентов при и в системе , равен двум. Следовательно, уравнения , а значит, и уравнение (5) определяют плоскость , где , , . ■
Уравнение (5) называется общимуравнением плоскости Уравнения являются параметрическими уравнениями той же плоскости (при ).
3. Плоскость будет определена, если задать три её точки не лежащие на одной прямой: .
Пусть в аффинной системе координат точки имеют координаты: , , . Тогда плоскость определяется уравнением:
или в координатной форме:
. (6)
Если, в частности, точки являются точками пересечения плоскости с осями координат соответственно и плоскость не проходит через начало координат , то эти точки имеют координаты: , , , , то уравнение (6) принимает вид: ,
или , и называется уравнениемплоскости «в отрезках».
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 216;