Характеристика поля

Кольцо многочленов от одной переменной над областью целостности

Характеристика поля

Напомним, что областью целостности называется коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля. Примерами области целостности могут служить все поля, числовые кольца, а вот кольцо классов вычетов по произвольному модулю областью целостности не является. Пусть Р – числовое поле. Если мы выберем произвольный элемент поля Р и сложим его n раз, очевидно, na¹0. (nÎN). Если же мы выберем элемент произвольного поля, то такая сумма может иметь и нулевое значение.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть Р – произвольное поле, аÎР, a¹0, nÎZ, n¹0. Тогда выполняется только одно из двух условий:

1) na¹0;

2)$р - простое"аÎР(ра=0).

Доказательство

Пусть a¹0 и n¹0, аÎР и nÎZ. Если na¹0, то справедливо первое условие, и теорема верна. Пусть na=0. Покажем, что в этом случае "bÎР (nb=0). Действительно, если b=0, то nb=0. Если b¹0, то в поле существует элемент b^-1, тогда a=ea=(bb^-1)a=b(b^-1a)=bq, но тогда na=0Ûn(bq)=0 Û (nb)q=0Þ nb=0, так как в поле нет делителей нуля. так как "bÎР(nb=0), следовательно, и для b=e, то есть ne=0 Но ne=0Þ"mÎZ (m(ne)=0), то есть существует множество целых чисел, обладающих свойством ne=0. Рассмотрим A={nçne=0, e nÎZ, n>0}. Очевидно, А¹Æ и АÌN, тогда множество А имеет наименьший элемент р. Докажем, что р – простое. Предположим противное, пусть р – составное, то есть р=р₁р₂, тогда pe= = p₂(p₁e)=(p₁e)(p₂e)=0Þ p₁e=0 Ú p₂e= 0, где р₁<p и р₂<p, а это противоречит выбору р, следовательно, наше предположение неверно, и р – простое. Покажем, что такое простое число р – единственное. Предположим противное, пусть f – простое, f¹р, а fа=0. так как р – наименьший элемент множества А, то f>p, тогда, применяя теорему о делении с остатком, получим f=pq+r, 0£r<p, тогда

fe=(pq+r)e= =(pq)e+re=(qp)e+re=

=q(pe)+re=q0+re=re=0 и 0£r<p - это противоречит выбору р, следовательно, наше предположение неверно, и р – единственное простое, обладающее данным свойством.

Определение. Говорят, что поле Р имеет нулевую характеристику, если "аÎР(a¹0) "nÎZ( n¹0)( na¹0). Говорят, что поле Р имеет простую характеристику р, если "аÎР(ра=0).

Примеры

1. Все числовые поля имеют нулевую характеристику.

2. Поля классов вычетов по простому модулю р – это поля конечных характеристик р, например, поле классов вычетов по модулю 5 – имеет характеристику 5 и т.д.

3. Постройте поле характеристики 2 из четырех элементов.