Непрерывный канал связи
Как и прежде, сигналы поступают в канал в дискретные моменты времени, но значения сигналов принимают непрерывные значения из некоторого множества. Примером такого канала является передача амплитудно-модулированных, фазомодулированных или частотно-модулированных сигналов. Сами сигналы могут быть как детерминированными, так и являться случайными процессами. Сигнал и шум взаимно независимы и в канале связи складываются алгебраически, т.е сигнал и шум аддитивны
, (4.15)
где - шум в канале с известной плотностью вероятности ,
- непрерывный по множеству значений сигнал, поступающий в канал связи. Плотность распределения вероятности значений сигнала может быть произвольной
Чтобы упростить записи, в дальнейшем будем писать
, (4.16)
помня, что - непрерывные величины, а их реализациями являются . Запишем равенство (4.16) через реализации
(4.17)
Условная плотность распределения при фиксированном значении должна удовлетворять соотношению
. (4.18)
Используя (**.17), получим условную плотность распределения
(4.19)
Пропускная способность непрерывного канала связи определяется подобным образом, что и для дискретного канала, но максимизация пропускной способности производится по всем возможным распределениям :
, (4.20)
где - время, затраченное на передачу одного значения ,
- скорость передачи сигналов в канале - количество значений , переданных по каналу в единицу времени.
Определим условную энтропию :
(4.21)
Из (4.21) видно, что условная энтропия зависит от плотности распределения вероятности шума.
Пример 4.3. Вычислим энтропию случайной величины , подчиненной нормальному закону с математическим ожиданием, равным m, и дисперсией, равной .
=
Сделаем замену переменных .
.
Как видно, энтропия не зависит от математического ожидания m.
Пусть - энтропия случайной величины с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной . Энтропия случайной величины не превышает энтропии нормального закона распределения вероятности
,(4.22)
где знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда случайная величина распределена по нормальному закону.
Положим, - произвольная плотность распределения вероятности случайной величины . Случайная величина подвергается преобразованию
.
Определим математическое ожидание случайной величины
=
. (4.23)
Рассмотрим разность . Правая часть этой разности есть . Поэтому
.
Знак равенства будет только тогда, когда справедливо равенство
или
.
Таким образом, энтропия достигает максимального значения при нормальном законе распределения вероятности. При этом накладываются условия:
- дисперсия случайной величины ограничена,
- область определения плотности распределения вероятности – ( ).
При рассмотрении пропускной способности канала связи никаких ограничений на вид распределения вероятности шума не накладывалось. В частном случае, наиболее употребляемом на практике, предполагается, что шум - нормальный белый. Это означает, что значения шума распределены по нормальному закону и они не коррелированны. При таких предположениях имеет место теорема Шеннона (Фано, стр. 176)
Если в непрерывном постоянном канале с дискретным временем аддитивный шум имеет гауссовское распределение с нулевым средним и дисперсией, равной , а мощность сигнала на входе не может превышать определенной величины , то пропускная способность этого канала на событие определяется формулой
.(4.24)
Знак равенства достигается лишь тогда, когда сигнал на входе канала - гауссовский с нулевым средним и дисперсией, равной .
Как известно, пропускная способность канала имеет вид
.
Определим . Из соотношений (4.15) - (4.18) следует,
. В силу независимости сигнала и шума .
По определению
.
Подставим вместо условной плотности плотность распределения шума и, учитывая, что шум распределён по нормальному закону, получим
. (4.25)
Используя общее определение пропускной способности канала (4..20)
. (4.25)
Если сигнал на входе канала распределен по нормальному закону, то и сумма (4.16) также распределена по нормальному закону, что является необходимым условием максимального значения энтропии . В этом случае пропускная способность достигает максимального значения (знак равенства в (4.24)).
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 139;