Передаточная функция и разностное уравнение
Цифрового фильтра
Реакция цифрового фильтра на входное воздействие х(п) определяется сверткой этого воздействия с импульсной характеристикой фильтра
у(п)=х(п)*h(п). (.6)
(.7)
Из свойств -преобразования следует, что свертке последовательностей х(п) и h(n) соответствует произведение их -преобразований.
(.8)
Рассматривая Y(z) и X(z) как выходной и входной эффекты цифрового фильтра, используем (.8) для записи общего выражения его передаточной функции:
H(z) = Y(z)/X(z) (.9)
Таким образом, передаточная функция цифрового фильтра является -преобразованием его импульсной характеристики:
(.10)
Рассмотрим пример расчета цифрового фильтра на
основе аналогового прототипа в виде однозвенной Г-образной -цепи. Дискретную импульсную характеристику запишем в общем виде с учетом масштабирующего множителя а:
, (.11)
Где - постоянная времени фильтра, - интервал дискретизации.
Найдем передаточную функцию цифрового фильтра, определив -преобразование его дискретной импульсной характеристики (ДИХ):
(.12)
Выражение для представлено в ( .13) как сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем . Используя формулу суммирования, получим
, (.13)
Где
Стуктура записи передаточной функции цифрового фильтра соответствует передаточной функции линейной аналоговой системы с обратной связью:
, (.14)
Где - коэффициент передачи прямого тракта, - коэффициент передачи цепи обратной связи. На рис. приведены функциональные схемы соответствующей аналоговой системы с обратной связью и цифрового фильтра.
Рис
Из сопоставления (.13) и (.14) видно, что , а . Сопоставление схем позволяет установить соответствие схемы цифрового фильтра и системе с обратной связью. Блок, обозначенный как выполняет функцию задержки на такт дискретизации.
Передаточная функция цифрового фильтра, полученная как -преобразование его дискретной импульсной характеристики (ДИХ) в общем виде может быть представлено дробно-рациональным полиномом от переменной .
(.15)
Это выражение называется уравнением цифрового фильтра. Коэффициенты , называются коэффициентами цифрового фильтра и их значения полностью определяют передаточную функцию фильтра.
Последнее выражение может быть переписано в форме разностного уравнения цифрового фильтра. Из (.15), следует:
(.16)
После выполнения над (.16)обратного -преобразования можно получить:
(.17)
И. в окончательном виде:
(.18)
Коэффициенты разностного фильтра являются соответствующими коэффициентами в уравнении цифрового фильтра.
Z-преобразование
Операторный метод, базирующийся на преобразовании Лапласа, является одним из основных направлений в исследовании линейных систем. Преобразование Лапласа (.1) позволяет осуществить перевод оригинала из области непрерывного времени t в его комплексное изображение E(s) в s-области.
, (.1)
В области дискретного времени преобразование Лапласа последовательности принимает вид суммы:
(.2)
Трансцендентность изображений дискретных .последовательностей из-за наличия экспоненты в ( .2) приводит к определенным трудностям, поэтому применительно к дискретным и цифровым устройствам пользуются не дискретным преобразованием Лапласа, а -преобразованием, которое получается из (:2) заменой :
(.3)
Свойства -преобразования.
Линейность. Если и являются -преобразованиями последовательностей и , то любых действительных а и b z-преобразование равно Это непосредственно вытекает из (.3) и является подтверждением принципа суперпозиции из определения.
Задержка. Если - преобразование относится к последовательности , то -преобразование последовательности ,задержанной на тактов, равно . При определении -преобразования ординаты в соответствии с (.3) умножаются на комплексные числа последовательности и результаты умножения суммируются.
Очевидно, что -преобразование будет точно таким же, если оперировать несмещенной последовательностью и последовательностью смещенной на т тактов в сторону опережения.
Формульная запись при этой операции имеет вид:
(.4)
Из (.4) следует, в частности, что в выражениях z-форм множитель z±m должен рассматриваться как оператор сдвига преобразуемой последовательности на т тактов дискретизации. Знак показателя определяет направление сдвига (минус - задержка, плюс - опережение).
Свертка. Если последовательности соответствует -преобразование , а последовательности -преобразование , то дискретной свертке этих последовательностей:
(.5)
соответствует произведение их - преобразований:
(.6)
Обратное z-преобразование определяется формулой:
(.7)
Дата добавления: 2020-10-14; просмотров: 420;