Тренировочные задания

1. Уравнение ТП (1.1.2) для m = 1 имеет вид

S_t = a S_t-1 + b C_t + H_t ,

Предположим, что данное уравнение описывает рост биомассы (концентрации) S некоторого основного ингредиента вещества под воздействием дополнительного ингредиента вещества, имеющего концентрацию C. Пусть в начале процесса концентрация основного вещества равна S₀, а концентрация дополнительного ингредиента равна C₀. При этом концентрация дополнительного ингредиента убывает со временем t (t = 1, 2, 3, … T) по линейному закону

C _t = C₀ – g t.

Покажите, что зависимость S_t от b, C₀ , g и T при a = 1 выражается как

S_T = S₀ + b C₀ T – bg T (T +1)/2 + .

Указание. Воспользуйтесь последовательной подстановкой значений t = 1, 2, 3, … T в уравнение ТП и формулой суммы членов арифметической прогрессии 1+2+3+… +T = T (T +1)/2.

2. Покажите, что зависимость S_t от b, C₀ , g и T при произвольном a выражается как

S_T = a ^T S₀ +b C₀[1+a +a² +…+a ^T-1]–

– bg [a ^T-1+2a ^T-2+3a ^T-3 +…+(T–1)a + T] + .

3. Преобразуйте полученное в 2 выражение, воспользовавшись формулой геометрической прогрессии

a ⁰ + a¹ + a² + … + a ^T-1 = .

4. Найдите значение концентрации S основного ингредиента к моменту исчезновения дополнительного ингредиента при a = 1. Покажите при каких значениях g будет наблюдаться прирост концентрации основного ингредиента.

5. Дайте объяснение полученной модели ТП и смысла коэйффициентов a, b и g. Постройте примерную диаграмму ТП (см. рис.1.2.1).

6. Воспользовавшись правилом расчета дисперсий (см. стр. 27) покажите, что для úaú < 1 ошибка (дисперсия s_S² = = var(S)) определения ТП S_t имеет вид

var(S) = [b ² g ² T ² /12+ s_H²]/(1–a²),

если помеха некоррелирована c ТП, т.е., cov(S_t, H_t) = 0и cov(С_t, H_t) = 0, а такжеимеет дисперсию var(H_t, H_t) = s_H².

Указание. var(t) = T ² /12.