Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме

Интегральная форма уравнений описывает поле в конечных размерах объема, поверх­ности, линии, расположенных в пространстве. Дифференциаль­ная форма тех же уравнений описывает поле в произвольных точках простран­ства.

1.Закон Кулона определяет силу взаимодействия между двумя точечными зарядами:

.

Сила взаимодействия двух точечных зарядов направлена по прямой, со­единяющих эти заряды, при этом одноименные заряды отталкиваются, а разно­именные - притягиваются.

2.Ранее была получена интегральная форма уравнения циркуляции век­тора напряжен­ности поля по замкнутому контуру:

- интегральная форма.

По теореме Стокса перейдем к дифференциальной форме этого уравне­ния:

.

Так как площадка выбиралась произвольно, то очевидно проекция век­тора на любое направление равна нулю, следовательно и сам вектор равен нулю:

- дифференциальная форма.

Ротор вектора характеризует его вихри в пространстве. Равенство озна­чает, что электростатическое поле является безвихревым, т.е. по­тенциальным.

В декартовой системе координат операция rot запишется так:

.

3. Теорема Гаусса является одной из фундаментальных теорем в теории поля:

- интегральная форма записи теоремы гласит, что поток вектора элек­трического смещения сквозь замкнутую поверхность S равен ал­гебраической сумме сво­бодных зарядов, расположенные внутри поверхности S.

Для однородной среды , тогда .

По теореме Остроградского перейдем к дифференциальной форме урав­нения теоремы Гаусса:

, , следовательно:

― дифференциальная форма.

Дивергенция вектора характеризует его истоки в пространстве, следо­вательно, ли­нии вектора начинаются на положительных зарядах и заканчи- ваются на отрицательных.

В декартовой системе координат операция div запишется так:

.

Для однородной среды , тогда .

4. Электростатическое поле обладает способностью запасать энергию. Объемная плотность этой энергии выражается уравнением:

[Дж/м³].

Для определения запаса энергии в заданном обьеме v необходимо выполнить интегрирование плотности энергии по заданному обьему:

.