Уравнения переходных процессов в цепях с распределенными параметрами

При рассмотрении схемы замещения цепи с распределенными параметрами были получены дифференциальные уравнения в частных производных

;

(5)

(6)

Их интегрирование с учетом потерь представляет собой достаточно сложную задачу. В этой связи будем считать цепь линией без потерь, т.е. положим и . Такое допущение возможно для линий с малыми потерями, а также при анализе начальных стадий переходных процессов, часто наиболее значимых в отношении перенапряжений и сверхтоков.

С учетом указанного от соотношений (5) и (6) переходим к уравнениям

(7)

(8)

Для получения уравнения (7) относительно одной переменной продифференцируем (7) по х, а (8) – по t:

;

(9)

.

(10)

Учитывая, что для линии без потерь , после подстановки соотношения (10) в (9) получим

.

(11)

Аналогично получается уравнение для тока

.

(12)

Волновым уравнениям (11) и (12) удовлетворяют решения

;

.

Как и ранее, прямые и обратные волны напряжения и тока связаны между собой законом Ома для волн

и ,

где .

При расчете переходных процессов следует помнить:

1. В любой момент времени напряжение и ток в любой точке линии рассматриваются как результат наложения прямой и обратной волн этих переменных на соответствующие величины предшествующего режима.
2. Всякое изменение режима работы цепи с распределенными параметрами обусловливает появление новых волн, накладываемых на существующий режим.
3. Для каждой волны в отдельности выполняется закон Ома для волн.

Как указывалось, переходный процесс в цепях с распределенными параметрами характеризуется наложением многократно отраженных волн. Рассмотрим многократные отражения для двух наиболее характерных случаев: подключение источника постоянного напряжения к разомкнутой и короткозамкнутой линии.

Переходные процессы при включении на постоянное напряжение
разомкнутой и замкнутой на конце линии

При замыкании рубильника (см. рис. 2) напряжение в начале линии сразу же достигает величины , и возникают прямые волны прямоугольной формы напряжения и тока , перемещающиеся вдоль линии со скоростью V (см. рис. 3,а).Во всех точках линии, до которых волна еще не дошла, напряжение и ток равны нулю.Точка, ограничивающая участок линии, до которого дошла волна, называется фронтом волны. В рассматриваемом случае во всех точках линии, пройденных фронтом волны, напряжение равно , а ток - .

Отметим, что в реальных условиях форма волны, зависящая от внутреннего сопротивления источника, параметров линии и т.п., всегда в большей или меньшей степени отличается от прямоугольной.

Кроме того, при подключении к линии источника с другим законом изменения напряжения форма волны будет иной. Например, при экспоненциальном характере изменения напряжения источника (рис. 4,а) волна будет иметь форму на рис. 4,б.

В рассматриваемом примере с прямоугольной волной напряжения при первом пробеге волны напряжения и тока (см. рис. 3,а) независимо от нагрузки имеют значения соответственно и , что связано с тем, что волны еще не дошли до конца линии, и, следовательно, условия в конце линии не могут влиять на процесс.

В момент времени волны напряжения и тока доходят до конца линии длиной l, и нарушение однородности обусловливает появление обратных (отраженных) волн. Поскольку в конце линия разомкнута, то

,

откуда и .

В результате (см. рис. 3,б) напряжение в линии, куда дошел фронт волны, удваивается, а ток спадает до нуля.

В момент времени , обратная волна напряжения, обусловливающая в линии напряжение , приходит к источнику, поддерживающему напряжение . В результате возникает волна напряжения и соответствующая волне тока (см. рис. 3,в).

В момент времени волны напряжения и тока подойдут к концу линии. В связи с ХХ и (см. рис. 3,г). Когда эти волны достигнут начала линии, напряжение и ток в ней окажутся равными нулю. Следовательно, с этого момента переходный процесс будет повторяться с периодичностью .

В случае короткозамкнутой на конце линии в интервале времени картина процесса соответствует рассмотренной выше. При , поскольку в конце линии и , что приведет к возрастанию тока в линии за фронтом волны до величины . При от источника к концу линии будет двигаться волна напряжения и соответствующая ей волна тока , обусловливающая ток в линии, равный , и т. д. Таким образом, при каждом пробеге волны ток в линии возрастает на .

Отметим, что в реальном случае, т.е. при наличии потерь мощности, напряжение в линии в режиме ХХ постепенно выйдет на уровень, определяемый напряжением источника, а ток в режиме КЗ ограничится активным сопротивлением и проводимостью линии, а также внутренним сопротивлением источника.

Литература

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
2. Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
3. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какой характер имеет зависимость входного сопротивления линии от ее длины и почему?
2. С помощью чего можно изменять характер и величину входного сопротивления цепи с распределенными параметрами?
3. Какое допущение лежит в основе анализа переходных процессов в длинных линиях?
4. Каким законом связаны волны напряжения и тока в переходных режимах?
5. Линия без потерь имеет длину , фазовая скорость волны . При каких частотах в ней будут иметь место минимумы и максимумы входного сопротивления?

Ответ: .

1. При каких длинах линии без потерь в ней будут наблюдаться резонансные явления, если фазовая скорость равна скорости света, а частота ?

Ответ: .

1. Постройте эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии, питаемой от источника постоянного напряжения, при включении и отключении в ее конце резистивной нагрузки.

Лекция N 43

Сведение расчета переходных процессов в цепях с распределенными
параметрами к нулевым начальным условиям

С учетом граничных условий расчет переходных процессов в цепях с распределенными параметрами можно проводить как при нулевых, так и ненулевых начальных условиях. Однако в первом случае анализ осуществляется в целом проще, что определяет целесообразность сведения расчета к нулевым начальным условиям. Пример такого сведения на основе принципа наложения для задачи на подключение в конце линии нагрузки схематично иллюстрирует рис. 1, где в последней схеме сопротивление имитирует входное сопротивление активного двухполюсника.

Таким образом, если к линии, в общем случае заряженной, подключается некоторый в общем случае активный двухполюсник, то для нахождения возникающих волн необходимо определить напряжение на разомкнутых контактах ключа (рубильника), после чего рассчитать токи и напряжения в схеме с сосредоточенными параметрами, включаемой на это напряжение при нулевых начальных условиях. Полученные напряжения и токи накладываются на соответствующие величины предыдущего режима.

При отключении нагрузки или участков линии для расчета возникающих волн напряжения и тока также можно пользоваться методом сведения задачи к нулевым начальным условиям. В этом случае, зная ток в ветви с размыкаемым ключом (рубильником), необходимо рассчитать токи и напряжения в линии при подключении источника тока противоположного направления непосредственно к концам отключаемой ветви. Затем полученные токи и напряжения также накладываются на предыдущий режим.

В качестве примера такого расчета рассмотрим длинную линию без потерь на рис. 2, находящуюся под напряжением , к которой подключается дополнительный приемник с сопротивлением .

В соответствии со сформулированным выше правилом схема для расчета возникающих при коммутации волн будет иметь вид на рис. 3. Здесь

;

и в соответствии с законом Ома для волн

.

Соответствующие полученным выражениям эпюры распределения напряжения и тока вдоль линии представлены на рис. 4.

Отметим, что, поскольку

,

к источнику от места подключения нагрузки пошла волна, увеличивающая ток на этом участке.

Если наоборот приемник с сопротивлением не подключается, а отключается, то расчет возникающих при этом волн тока и напряжения следует осуществлять по схеме рис.5.