Понятие определенного интеграла и его свойства
Что такое определённый интеграл ?
Пусть функция определена на промежутке . Для определённости и простоты считаем, что функция положительна и непрерывна на данном отрезке. Поставим задачу найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и осью . Обращаю внимание на тот факт, что непрерывность функции на отрезке заведомо гарантирует существование конечной площади .
Разобьём отрезок на частей следующими точками:
(красные точки):
В результате получено частичных промежутков с длинами соответственно. В общем случае длины различны – какие-то отрезки короче, какие-то длиннее. Максимальную длину называют диаметром разбиения и обозначают буквой «лямбда»: .
Примечание: последняя запись читается, как «максимальное значение из множества (набора) »
В каждом из полученных промежутков опять же произвольно выбираем точки (синие квадратики).
Примечание: («кси») – 14-я буква греческого алфавита
Рассмотрим промежуток . Его длина, очевидно, равна (зелёная обоюдоострая линия). Значению аргумента соответствует значение функции (синие пунктирные линии), и произведение в точности равно площади соответствующего коричневого прямоугольника.
Аналогично устроен каждый отрезок. Составим сумму, которая равна площади коричневой ступенчатой фигуры:
Данная сумма называется интегральной суммой, и её часто записывают в свёрнутом виде:
Примечание: – это значок суммы, а переменная – своеобразный «счётчик», т.е. сначала , затем , потом , … и, наконец,
Что означает прилагательное «интегральной»? В широком смысле слова, интегрировать – это значит, что-то объединять. В данном случае интегральная сумма объединяет площади коричневых прямоугольников и с некоторой точностью приближает площадь криволинейной трапеции:
Теперь зададимся вопросом: как улучшить точность приближения? Действия очевидны – увеличиваем и увеличиваем значение . При этом количество отрезков растёт, а их длины – уменьшаются, в том числе неизбежно уменьшается и максимальная длина . Количество точек тоже возрастает и ступенчатая фигура всё больше и больше напоминает криволинейную трапецию.
И, если количество отрезков разбиения устремить к бесконечности , то интегральная сумма (площадь ступенчатой фигуры) будет стремиться к площади криволинейной трапеции: .
Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральной суммы при диаметре разбиения, стремящемся к нулю:
Отметим:
1) В рассматриваемом контексте сумму ещё с 17 века обозначали растянутой буквой S (Summa). Это обозначение известно как значок интеграла:
2) Если (и, следовательно, ), то значения стремятся «покрыть» все значения функции из промежутка , то есть:
, при этом пределы интегрирования:
3) И, наконец, длина любого промежуточного отрезка становится бесконечно малой. Обозначение этой бесконечно малой длины мы тоже хорошо знаем, оно указывает, что объединение ведётся по переменной «икс»:
В результате, площадь криволинейной трапеции:
Определение: конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа дробления отрезка , ни от выбора точек , называется определённым интегралом функции по промежутку и обозначается символом .
При этом функция называется интегрируемой в промежутке . Для интегрируемости (а, значит, существования конечной площади), напоминаю, достаточно непрерывности функции на отрезке . Если же на данном промежутке есть участки, где функция, например, не определена (нет её графика), то конечного предела и, соответственно, определённого интеграла не существует.
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 227;