Однородные уравнения
Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
Пример. Является ли однородной функция
Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.
Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим однородное уравнение
Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:
Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:
Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:
Далее заменяем y = ux, .
таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и, найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение .
Введем вспомогательную функцию u.
.
Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .
Подставляем в исходное уравнение:
Разделяем переменные:
Интегрируя, получаем:
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
Линейные уравнения
Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением.
P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 353;