Понятия и определения.

Уравнения связей системы тел. Положение системы по отношению к инерциальной системе отсчета определяют 6N скалярных параметров (координаты, углы), . Положение системы совместимо со связями, то есть удовлетворяет геометрическим уравнениям связей

а движение удовлетворяет еще и кинематическим уравнениям связей, полученным из уравнений связи дифференцированием их по времени один и два раза. Скалярные функции векторного аргумента дважды непрерывно дифференцируемы по времени, а функционально независимые уравнения связей для любого момента времени позволяют выбрать независимых элементарных перемещений из уравнений связей в вариациях

Элементарные перемещения называются возможными (виртуальными) перемещениями, а скалярные параметры (координаты и углы) которые соответствуют, независимым из них , называют обобщенные координаты. Говорят, что виртуальные перемещения совместимы со связями.

Несовместимые со связямиэлементарные перемещения системы тел произвольны, независимы и не удовлетворяют уравнениям связей.

Силы инерции твердого тела. Главный вектор и главный момент сил инерций тела.

Поле элементарных сил инерций твердого тела определим по Даламберу

по полю абсолютных ускорений всех его элементарных масс , положение которых по отношению к центру масс С задается векторами .

При этом поле ускорений имеет вид:

Здесь есть абсолютное ускорение центра масс тела, есть абсолютная угловая скорость, а есть абсолютное угловое ускорение тела. В системе координат, связанной с телом, векторы постоянны.

Определение. Для тела вектор

есть главный вектор сил инерций,

а вектор

есть главный момент сил инерций относительно центра масс С.

Докажем, что в системе координат, связанной с телом, главный момент сил инерции вычисляется по формуле

Здесь есть оператор инерции тела относительно осей координат, связанных с телом, с началом в центре масс С. Элементы его матрицы постоянны.

Доказательство:

Если в теле есть неподвижная точка , то момент сил инерции относительно имеет тот же вид, только его выражают через оператор инерции относительно неподвижной точки.

Силы взаимодействия тел механической системы подразделяются на активные силы бесконтактного взаимодействия тел и силы контактного взаимодействия (акции и реакции). Добавим к ним для каждого тела силы инерции и вычислим их элементарную работу.

Элементарная работа сил инерции твердого тела на виртуальных перемещении тела вычисляется так:

Здесь элементарное перемещение центра масс и элементарный угол поворота тела определяются полем элементарных перемещений точек тела

Доказательство:

Если в теле есть неподвижная точка , то, взяв поле элементарных перемещений в виде

где вектор индивидуализирует положения элементарных масс тела в системе подвижных координат с началом в неподвижной точке, получим:

Если в плоском движении тела момент импульса тела параллелен вектору угловой скорости и виртуальному перемещению (это имеет место, когда оператор инерции записан в главных осях), то

Здесь есть осевой момент инерции тела относительно оси . Для этого необходимо, чтобы эта ось была главной осью оператора инерции тела.

Если в теле имеется неподвижная ось вращения , проходящая через некоторую точку тела или мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку, то элементарная работа сил инерции тела вычисляется по формуле;