Конечноразностные интерполяционные формулы
Пусть функция у = f(x) задана на сетке равноотстоящих узлов xi = x0 + ih, где i = 0, 1, ..., n, и для нее построена таблица конечных разностей.
В соответствии с тем, что было сказано о направлении модификации интерполяционной формулы Лагранжа в начале предыдущего параграфа, будем строить интерполяционный многочлен Рn(x) в форме
Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + ... +
+ an(x – x0)(x – x1)...(x – xn–1). (14)
Его n + l коэффициент a0, a1, ..., an будем находить последовательно из n + 1 интерполяционных равенств
Pn(xi) = yi, i = 0, 1, …, n.
А именно, полагая i = 0, т. е. x = x0, в (14) имеем Pn(x0) = a0, а по условию интерполяции Pn(x0) = y0, следовательно, a0 = y0.
Далее, при i = 1 аналогично получаем равенство
a0 + a1(х1 – х0) = y1,
в которое подставляем уже найденное значение a0 = y0. Разрешая это равенство относительно а1 и используя обозначение конечной разности, получаем
.
Следующий шаг, при i = 2, дает:
a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1) = y2 Û
Û
(см. (13) при k = 2).
Полной индукцией можно показать справедливость выражения
"k Î {1, 2, …, n}. (15)
Подставляя найденные коэффициенты a0, a1, ..., an в (14), получаем многочлен
, (16)
который называют первым интерполяционным многочленом Ньютона.
Учитывая, что каждое слагаемое многочлена (16), начиная со второго, содержит множитель x – x0, естественно предположить, что этот многочлен наиболее приспособлен для интерполирования в окрестности узла x0 (при x, близких к x0, f(x) » y0). Будем называть узел x0 базовым для многочлена (16), и упростим (16) введением новой переменной q равенством , или (что то же) равенством x = x0 + qh. Так как при любых i Î {0, 1, …, n}
x – xi = x0 + qh – x0 – ih = h(q – i),
то в результате подстановки этих разностей в (16) приходим к первой интерполяционной формуле Ньютона в виде
, (17)
где обозначение Pn(x0 + qh) указывает не только на n-ю степень многочлена, но и на базовый узел x0 и связь переменных x и q.
Первая формула Ньютона (17) обычно применяется при значениях |q| < 1, а именно, для интерполирования вперед, (при x Î (x0; x1), т. е. при q Î (0; 1)) и экстраполирования назад (при x < x0, т. е. при q < 0).
Так как реально степени интерполяционных многочленов бывают не так велики, в то время как таблицы значений функций достаточно обширны, и так как в реальной числовой таблице никаких индексов — номеров узлов нет, то за базовый для формулы (17) узел x0 можно принимать узел, ближайший к заданной фиксированной точке x, если за ним имеется достаточное число узлов для построения необходимых для (17) разностей. Поскольку в первой формуле Ньютона используются нисходящие диагонали таблицы конечных разностей, то такое смещение узла, принимаемого за базовый, в конце таблицы будет неприемлемо.
Учет этого обстоятельства приводит к потребности в симметричной, в определенном смысле, для (17) формулы, которая была бы пригодной для интерполирования в конце таблицы. Для этого, в отличие от (14), форма интерполяционного многочлена Pn(x) берется такой, которая предусматривает поочередное подключение узлов в обратном порядке: сначала последний, потом предпоследний и т. д., т. е.
Pn(x) = a0 + a1(x – xn) + a2(x – xn)(x – xn–1) + … +
+ an(x – xn)(x – xn–1)...(x – x1).
Коэффициенты a0, a1, ..., an этого многочлена находятся аналогично тому, как они находились для многочлена (14), только здесь подстановка узловых точек вместо x и рассмотрение интерполяционных равенств производится тоже в обратном порядке. Полагая x = xn, x = xn–1, ..., имеем:
Рn(xn) = a0 = уn,
,
и т. д. В общем случае
"k Î {1, 2, …, n}.
Таким образом, получаем второй интерполяционный многочлен Ньютона
, (18)
в котором базовым является узел xn и коэффициенты которого определяются конечными разностями, расположенными на восходящей от уn диагонали.
Положим в (18) x = xn + qh, иначе, введем новую переменную и преобразуем к ней входящие в (18) разности:
x – xi = xn + qh – x0 – ih = x0 + nh + qh – x0 – ih = h(q + n – h).
В результате приходим ко второй интерполяционной формуле Ньютона вида
. (19)
Ее также целесообразно использовать при значениях |q| < 1, т. е. в окрестностях узла xn для интерполирования назад (при q Î (–1; 0)) и экстраполирования вперед (при q > 0).
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 122;