Уравнение прямой линии в пространстве.

Пря мая линия бесконечна, поэтому для анализа ее положения в пространстве вводится понятие направляющего вектора.

Определение 4. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на этой прямой или параллельный ей. Обозначение: .

Общие уравнения прямой.

Задача 1. Найти линию пересечения двух плоскостей.

Решение.

Если линия образована пересечением двух плоскостей и , то система − это общие уравнения прямой.

За направляющий вектор этой прямой можно принять векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей .

Чтобы найти координаты точки, принадлежащей данной прямой, одну из координат задаем произвольно, например, z=0, а остальные находим из общих уравнений.

Пример.

Найти направляющий вектор и произвольную точку прямой .

Решение.

Пусть z =0. Потребуем, чтобы точка . Подставим координаты точки в общие уравнения. Получим

Ответ: .

Канонические уравнения прямой.

Задача 2. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение.

На прямой выберем произвольную точку и построим вектор . Запишем условие коллинеарности векторов − это канонические уравнения прямой.

Пример.

Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение.

Параметрические уравнения прямой.

Задача 3. Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Решение.

Запишем канонические уравнения этой прямой:

т.к. все дроби равны, их можно обозначить одной буквой: . Тогда получим:

− параметрические уравнения прямой.

Уравнение линии, проходящей через две заданные точки.

Задача 4. Найти прямую, проходящую через две заданные точки и .

Решение.

Воспользуемся каноническими уравнениями. За направляющий вектор можно принять вектор, лежащий на прямой – вектор , аза точку принять, например, точку . Получим: