Логические операции над высказываниями.

Понятие высказывания

Центральным понятием математической логики является понятие "простого высказывания".

Высказывание - это утвердительное повествовательное предложение, о котором точно можно сказать истинно оно или ложно.

Логические значения высказываний это "истина" и "ложь", принятые обозначения "и", "л" или 1 и 0.

пример:

· Днепр река.

· Рим - столица Италии.

Конъюнкция (логическое умножение) - сложное логическое выражение, которое истинно только в случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.

Талица истинности для конъюнкции имеет следующий вид:

Логическая связка конъюнкции - союз "и".

пример: Прочитай книгу и иди гулять.

Дизъюнкция (логическое сложение) - сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно и если оба простых логических выражения ложны.

Талица истинности для дизъюнкции имеет следующий вид:

Логическая связка дизъюнкции - союз "или".

пример: В этом сезоне я хочу пойти на “Ромео и Джульетту” или на “Отелло”.

Сложение по модулю 2 (логическое сложение, исключающее «или»,

строгая дизъюнкция) - булева сумма, значит "один или другой, но не оба вместе".

Талица истинности для исключающей дизъюнкции имеет следующий вид:

Логическая связка сложения по модулю 2 - союз "или", "либо...либо".

пример: Она учится в Московском или в Санкт-Петербургском институте.

Импликация (логическое следствие) - сложное логическое выражение, которое ложно только в случае, когда из истины следует ложь.

Талица истинности для импликации имеет следующий вид:

Логическая связка импликации - "если ... то", "когда ... тогда".

пример: Если Днепр - река, то Бразилия - большой город.

Эквиваленция - сложное логическое выражение, которое истинно только при одинаковых значениях истинности простых выражений, которые в него входят.

Талица истинности для эквиваленции имеет следующий вид:

Логическая связка эквиваленции - "тогда и только тогда, когда", "если и только если".

пример: Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда он является равноугольным.

Инверсия (логическое отрицание) - делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное - истинным.

Талица истинности для инверсии имеет следующий вид:

Логическая связка инверсии - "не", "нет", "неверно".

пример: Неверно, что 8 есть четное число.

Штрих Шеффера - это бинарная операция, отрицающая логическое умножение, соответственно значение ложно тогда и только тогда, когда оба простые выражения истинны.

Талица истинности для штриха Шеффера имеет следующий вид:

Штрих Шеффера выражается в виде: А|В = (А∧В)

Стрелка Пирса - это бинарная операция, отрицающая логическое сложение, соответственно значение истинно тогда и только тогда, когда оба простые выражения ложны.

Талица истинности для стрелки Пирса имеет следующий вид:

Штрих Шеффера выражается в виде: А ↓ В = (А∨В)

Порядок выполнения логических операций:

1. инверсия

2. конъюнкция

3. дизъюнкция

4. импликация

5. эквиваленция

6. штрих Шеффера

7. стрелка Пирса

Чтобы изменить данный порядок необходимо использовать скобки. Для штриха Шеффера и стрелки Пирса приоритет не определен.