Табличные интегралы

Интегралы, которые применяются для интегрирования элементарных функций и их комбинаций, называются табличными интегралами. Ниже приводятся основные табличные интегралы.

1. , n Î R, n ¹ –1

2.

3.

3а.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

§4.3 Непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям

Непосредственное интегрирование

Интегрирование называется непосредственным, если при интегрировании применяются только свойства интегралов и табличные интегралы.

@ Задача 1. Интегрировать функцию

.

Решение: Интеграл вычисляется непосредственно с помощью свойств неопределенных интегралов и табличных интегралов:

.

Замечание: Нет нужды выписывать при промежуточных вычислениях для каждого интеграла свое постоянное слагаемое; достаточно приписать его по выполнения всех интегрирований.

Способ подстановки

Этот способ применяется, как правило, если подинтегральная функция сложная и нет возможности сразу брать интеграл с помощью табличных интегралов.

В подинтегральное выражение вместо x вводится вспомогательная переменная z, связанная с x некоторой зависимостью (как правило, аргумент подинтегральной сложной функции), после чего интеграл сводится к табличному интегралу.

@ Задача 2. Вычислить .

Решение: Производится замена переменных 2x – 1 = z, после чего 2x – 1 = z и dx = dz/2 подставляются в подинтегральное выражение, и интеграл сводится к табличному интегралу:

.

@ Задача 3. Вычислить .

Решение: Производится замена переменных 1 + x² = z, после чего находим 2xdx = dz. После подстановки получим:

.

@ Задача 4. Вычислить .

Решение: Под квадратным корнем, выделив полный квадрат, интеграл можно свести к табличному интегралу:

.