Замечание о решении системы
Уравнения (18) имеют так называемую трехточечную структуру. Такие системы имеют следующий вид:
(23)
y0=0, yn=0 (24)
соответствует системе линейных уравнений с трехдиагональной матрицей Т для определения вектора неизвестных у =(у1, у2, …, уп-1):
Ту=F,
где
(25)
При этом легко видеть, что в нашем случае
(26)
поскольку
(27)
решение таких систем эффективно решается с помощью методов прогонки.
Пример.
Для функции y=f(x)=3x на отрезке [-1; 1] с узлами интерполяции
х0=-1, х1=0, х2=1. Построить кубический сплайн.
Найти его значение при х=1/2 (т.е. приближенно ). Определить погрешность сплайна.
Решение. В данном случае имеем равномерную сетку с шагом h=1. на сетке одна внутренняя точка – х1 и две граничные: х0 и х2. система (20) сводится к одному уравнению относительно коэффициента с1, которое с учетом дополнительных соотношений (16), определяющих нулевые значения коэффициентов с0 и с2, принимает вид:
таким образом, с0=0, с1=2 и с2=0. Остальные коэффициенты сплайна определим из формул (7), (21), (22): а1=1, а2=3, d1=2, d2=-2, b1=4/3, b2=7/3.
Теперь можно выписать кубические полиномы, определяющие сплайн:
Легко проверить, что построенная таким образом функция S(x) непрерывна вместе с первой и второй производной во внутренней узловой точке х=0.
Вычислим значение сплайна в точке х=1/2, т.е посчитаем приближенное значение :
Значительная погрешность обусловлена, прежде всего, большим шагом h=1. определенную роль играют условия (4):
(*).
Вторая производная рассматриваемой функции f(x)=3x в точках х=±1 в ноль не обращается, т.е. условие (*) дает о ней искаженную информацию. Если при построении сплайна учесть истинные значения вторых производных в граничных точках, то точность аппроксимации улучшится.
Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 48;