Метод разделения переменных
Метод разделения переменных (метод Фурье) - самый распространенный метод решения краевых задач в ограниченной области. Суть метода состоит в представлении решения в виде ряда Фурье по некоторой ортогональной системе функций. Продемонстрируем этот метод на следующей задаче.
Задача. Найти поперечные колебания круглой мембраны радиуса с закрепленным краем, вызванные сосредоточенным ударом, передавшим мембране в ее центре импульс k.
Решение.Задача сводится к решению волнового уравнения (1)
с граничным условием
(2)
и начальными условиями
(3)
где плотность мембраны, дельта-функция.
Запишем оператор Лапласа в цилиндрической системе координат (§9 гл.9, ч.1), учитывая, что отклонение u не зависит от z и угла
(1')
Решение будем искать в классе функций, представимых в виде произведения
(4)
Подставляя (4) в (1'), получим
(5)
Т.к. правая часть (5) зависит только от t, а левая только от r, то эти части являются постоянной величиной. Обозначим ее Тогда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения (разделим переменные)
(6)
(7)
Обозначив оператор перепишем (6) так:
(6')
Из (6') видно, что является собственным числом оператора L, а R - собственной функцией, отвечающей собственному числу (см. §5 гл.7, ч.1).
Собственные функции очевидно, удовлетворяют граничному условию (2')
а собственные функции начальному условию (3')
Уравнение (6) есть уравнение Бесселя (см. §17 гл.8, ч.1 ), его решением является Требуя выполнения граничного условия (2'), найдем собственные числа . корни функции Бесселя
Подставляя найденные собственные числа в (7), найдем решение этого уравнения с учетом начального условия (3'). Решение (7) запишем в виде
(8)
Предполагая, что искомая функция разложим ее в ряд Фурье по ортогональной с весом системе функций Бесселя
(9)
С учетом представлений (4) и (8) ряд Фурье запишем в виде
(10)
Потребуем теперь выполнения второго начального условия (3). Дифференцируя (10) по t при получим следующий ряд Фурье
(11)
Коэффициенты ряда Фурье (11) находятся, как известно (см. (12) §2 гл.3), по формуле (12)
Учитывая, что (см. (8) §1 гл.3),
найдем
Подставляя эти коэффициенты в (10), получим решение задачи
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 243;