Метод интегральных преобразований

Метод интегральных преобразований является одним из наиболее распространенных методов решения дифференциальных уравнений как обычных, так в частных производных. Ранее (см. §4, гл.2) мы рассмотрели метод преобразования Лапласа решения ОДУ и уравнений в частных производных. Однако, кроме преобразования Лапласа и Фурье (см. §5, гл.3) существуют и другие интегральные преобразования, например, Ханкеля, Меллина, Вебера и др.

Мы воспользуемся синус-преобразованием Фурье

(1)

для решения следующей задачи.

Задача. Полубесконечное тело, ограниченное плоскостью имеет заданное начальное распределение температуры Найти последующее распределение температуры в теле, считая, что с момента времени его граница поддерживается при нулевой температуре.

Решение. Математическая модель этой задачи следующая: найти решение уравнения теплопроводности

(2)

с начальным условием (3)

и граничным условием (4)

Будем считать, что и имеет односторонние производные. Неизвестная функция вместе со своими производными до второго порядка. Тогда, используя преобразование (1), вместо (2-4) получим (2')

(3')

Решение ОДУ с постоянными коэффициентами с начальным условием (3') имеет вид

(5)

Используя обратное синус-преобразование Фурье (1), найдем

(6)

Легко проверить, что (6) удовлетворяет граничному условию (4) и является решением данной задачи. В частности, если то и

(7)