Уравнения математической физики

Под уравнениями математической физики обычно понимают линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Общий вид такого уравнения следующий:

(1)

Здесь заданные функции переменной неизвестная функция.

Уравнения вида (1) классифицируются следующим образом. Фиксируется точка Из коэффициентов уравнения (1) составляется квадратичная форма где

Составляется и решается характеристическое уравнение квадратичной формы где А - матрица квадратичной формы, Е - единичная матрица. Если все корни характеристического уравнения одинакового знака, то уравнение (1) называют эллиптическим; если знак одного корня противоположен знаку остальных корней, то - гиперболическим; если же один корень равен нулю, а все остальные одного знака, то уравнение (1) называют параболическим.

Уравнения эллиптического типа описывают стационарные процессы, например, электростатическое поле заряда, потенциальное поле скоростей несжимаемой жидкости и др. Простейшими уравнениями эллиптического типа являются уравнения Лапласа и Пуассона

Гиперболические уравнения описывают колебательные процессы, распространение звука, распространение электромагнитных волн. Примером гиперболического уравнения является волновое уравнение

Уравнения параболического типа описывают такие процессы, как теплопроводность, диффузия, движение вязкой жидкости. Простейшим примером уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности

Здесь оператор Лапласа, пространственные координаты, время.

Дадим вывод телеграфного уравнения. Если протяженность электрической цепи не велика, то ее можно представить в виде колебательного контура с сосредоточенными параметрами (сопротивление, самоиндукция, емкость и коэффициент утечки). Математической моделью такой цепи является ОДУ второго порядка (см. §2, гл.2). При этом имеют место следующие соотношения

(2)

где э.д.с. самоиндукции, ток смещения, ток утечки, u - напряжение.

Для длинных цепей (телеграфные линии, линии передачи энергии и пр.) параметры нельзя считать сосредоточенными, они распределенные по длине электрической цепи. Пусть параметры постоянные и рассчитаны на единицу длины провода. Расположим электрический провод по оси x и пусть напряжение и ток в момент времени в точке x. Падение напряжения на отрезке вызывается падением напряжения из-за омического сопротивления и из-за возникновения э.д.с. самоиндукции

Тогда или (3)

Изменение тока на отрезке обусловлено током утечки и током смещения Поэтому или

(4)

Исключая из (3,4) ток, получим телеграфное уравнение для напряжения

(5)

Если из (3,4) исключить напряжение, то получим аналогичное уравнение для тока. Если сопротивление провода очень мало и он хорошо изолирован, то полагая в (5) получим волновое уравнение (уравнение колебания струны)

(6)

Если то из (5) получим уравнение теплопроводности

(7)

Таким образом, телеграфное уравнение (5) при различных значениях параметров может принадлежать к любому из перечисленных трех типов уравнений.

Замечание.Наряду с дифференциальными уравнениями целого порядка рассматриваются дифференциальные и интегральные уравнения дробных порядков. Для их решения используется аппарат дробного интегродифференцирования.