Преобразование и интеграл Фурье
Если функция задана на всей числовой оси и не является периодической, то ее нельзя разложить в ряд Фурье, но можно представить интегралом Фурье.
Если функция абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. то говорят, что функция принадлежит к классу
Теорема 1. Если то при любом несобственный интеграл
(1)
сходится, при этом функция непрерывна при любом и при
Доказательство.
Т.к. а интеграл сходится, то согласно признаку Вейерштрасса (см. §1, гл.2), интеграл (1) сходится равномерно, а согласно теореме 2 §1, гл.2 функция непрерывна. Вторую часть теоремы примем без доказательства.
Теорема 2. Если кусочно-непрерывная и имеет в каждой точке односторонние производные то в точках непрерывности функции имеет место равенство
(2)
а в точках разрыва правая часть (2) равна полусумме пределов слева и справа (без доказательства).
Замечание.Интеграл (2) сходится в смысле главного значения по Коши.
Равенства (1) и (2) называют соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье. Пишут оператор Фурье.
Преобразование Фурье аналогично преобразованию Лапласа и обладает аналогичными свойствами. В частности, согласно теореме 2 §1, гл.2.
т.е. если то Это свойство аналогично свойству дифференцирования изображения по Лапласу. Можно доказать, что если то если и при
Если функция четная, то
(3)
Из (3) видно, что функция четная. Тогда
(4)
Итак, если четная, то получаем косинус преобразования Фурье (3,4).
Аналогично, если функция нечетная, получим синус-преобразование Фурье
(5)
(6)
Подставим (1) в (2), получим
(7)
Формула (7) называется интегралом Фурье функции Ее можно записать в действительной форме
(8)
Сравним прямое и обратное преобразования Фурье (1,2) с рядом Фурье в комплексной форме:
(9)
(10)
(Ради удобства множитель поставлен в формулу ряда Фурье, а не в формулу коэффициентов ряда Фурье). Частоты периодической функции образуют арифметическую прогрессию с разностью При неограниченном увеличении т.е. при дискретный спектр становится непрерывным, а функция не периодической. При из (9) получим (1), а из (10) получим (2), т.е. вместо суммирования по дискретным частотам перейдем к интегрированию по параметру Поэтому функцию называют спектральной функцией (характеристикой), а спектром функции Этот спектр, согласно теореме 1, непрерывный.
Пример.Представить интегралом Фурье функцию
Решение.Найдем спектральную функцию
(11)
спектр данной функции
(см. рис. 6).
Подставляя (11) в (2), получим интеграл Фурье
(12)
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 261;