Замечательные пределы
Рассмотрим функцию
= . Она не определена в точке = 0, тем не менее предел её в этой точке существует и равен единице. Докажем это. Из чертежа при
0 < < ясно, что
< < (1)
где и – площади треугольников ОМВ и ОСА, а – площадь кругового сектора. Радиус окружности будем считать равным единице. Тогда, выражая площади через угол , неравенство (1) перепишем так: × < < , или
< < Þ < < . (2)
В неравенстве (2) все функции являются четными, поэтому оно верно и для отрицательных , т.е. при < < , ¹ 0. Устремляя к нулю и пользуясь теоремой о двух милиционерах, получим
= 1. (3)
Формулу (3) называют первым замечательным пределом.
Прежде, чем перейти ко второму замечательному пределу, приведем формулу бинома Ньютона
= , (4)
где = 1, = , Î N,
= 1×2×3×...× .
Формулу (4) можно доказать методом математической индукции. Мы её докажем позже другим методом.
Рассмотрим последовательность = . Используя формулу бинома Ньютона, получим
= 1 + × + + + ... +
+ = 1 + 1 + +
+ +...+ ... . (5)
Из (5) видно, что последовательность { } монотонно возрастающая, т.к. при замене n на n + 1 каждое слагаемое в (5) возрастает и добавляется еще одно положительное слагаемое.
Покажем теперь, что эта последовательность ограниченна сверху. Действительно,
< 1 + 1 + + + ... + £ 1 + 1 + + +...+ =
= 1 + = 1 + 2 – £ 3, " n Î N. (6)
(Сначала мы отбросили скобки меньшие единицы, и результат возрос. Затем учли, что ³ и воспользовались формулой суммы членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = ).
Итак, последовательность { } монотонно возрастает и ограниченна сверху, следовательно, имеет предел (см. Теорему 2 §2). Этот предел называют числом е.
= е. (7)
Число е является иррациональным, е = 2,718... .
Рассмотрим теперь функцию = и докажем, что она имеет предел при ® + ¥ равный е. Для любого положительного действительного числа имеет место неравенство n £ < n + 1. Для обратных величин этого неравенства получим
< £ Þ 1 + < 1 + £ 1 + .
Если левую часть последнего неравенства возвести в степень n, среднюю – в степень x, а правую – в степень n + 1 , то неравенство только усилится, т.е.
< £ . (8)
Легко убедиться, что = e, = e.
Поэтому из (8) по теореме о двух милиционерах следует, что
= e. (9)
Покажем теперь, что = e. Действительно,
= = =
= = e.
Последняя формула и формула (9) называются вторым замечательным пределом.
Можно доказать, что
1) = e, 4) = ,
2) = , 5) = 1,
3) = 1, 6) = .
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 260;