Основные теоремы о пределах
Лемма. Для того, чтобы число было пределом функции в точке = , необходимо и достаточно, чтобы разность – была бесконечно малой в этой точке.
Доказательство. Обозначим разность – через , т.е. – = . Если – предел функции , то | – | = | | < " Î O ( , ). Но это означает, что является бесконечно малой в точке = . Необходимость доказана. Если – бесконечно малая, то
| | = | – | < " Î O ( , ). Последняя запись означает, что является пределом функции в точке = . Достаточность доказана.
Теорема 1. Пусть функции и определены в некоторой -окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки = . Если существуют пределы функций и в точке = , то существуют и следующие пределы:
1) ( + ) = + ,
2) ( × ) = × ,
3) = , если ¹ 0.
Доказательство. Пусть = , = . Тогда согласно лемме
= + , = + . (1)
Учитывая (1), запишем = = +
+ = + , или
= + (2),
где = – бесконечно малая (согласно теоремам 1–3 предыдущего параграфа).
Равенство (2) согласно лемме означает, что
= или = . Таким образом, третье утверждение теоремы доказано. Первое и второе утверждения доказываются аналогично. Доказать их самостоятельно.
Из второго утверждения теоремы вытекает следующее следствие: если = C = const, то (C ) =
= C , т.е. постоянную можно выносить за знак предела.
Теорема 1 значительно облегчает нахождение пределов.
Пример. Найти .
Решение. Используя теорему 1, запишем
= = =
= = 1.
Теорема 2 (о двух милиционерах). Пусть функции , , определены в некоторой -окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки = .
Если £ £ " Î O ( , ) и =
= = , то = .
Доказательство. Согласно лемме = + , = = + , где и – бесконечно малые в точке
= , т.е. | | < " Î O ( , ) и | | < " Î O ( , ). Данное в условии теоремы неравенство
+ £ £ + (3)
будет, очевидно, выполняться в наименьшей из трех окрестностей точки = , т.е. " Î O ( , ), = min( , , ).
Перепишем неравенство (3) так:
– < £ – £ < " Î O ( , ), или
| – | < " Î O ( , ).
Последнее неравенство означает, что = . Теорема доказана.
Теорема 3(правило замены переменной). Если существует предел функции в точке и существует предел функции в точке , причем = , то = . (Без доказательства).
Дата добавления: 2020-02-05; просмотров: 295;