однократных измерений

Оценивание погрешностей прямых

Прямые однократные измерения относятся к наиболее распространенным видам измерений. Методика обработки их результатов приведена в рекомендациях Р 50.2.038-2004 «ГС ОЕИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов измерений». Применение данной методики возможно, если известны составляющие погрешности измерения, закон распределения случайных составляющих — нормальный, а закон распределения не исключенных систематических погрешностей – равномерный с известными границами доверительной вероятности. Доверительная вероятность (для не исключённых систематических погрешностей) наиболее часто принимается равной 0,95.

В соответствии с рекомендацией Р 50.2.038-2004 обработка результатов измерений проводится на основе предварительно полученной информации о составляющих погрешности и их законах распре­деления. Принято считать, что шкала используемого средства измерений проградуирована в значениях измеряемой величины и имеется единственное показание А_i как результат прямого однократного измерения (без учета погрешности).

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в измерительной практике варианты оценивания погрешностей прямых однократных измерений.

Вариант 1. Имеются m не исключенных систематических погрешно­стей D_ci с доверительными гра­ницами и одинаковыми доверительными вероятностями

P₁ = P₂ = … Р_n.

В этом случае доверительная граница суммарной не исключенной систематической погрешности результата измерения D_С(Р) оценивает­ся по формуле

(2.5)

где К - поправочный коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и числа m составляющих D_ci. Значения поправочного коэффициента приведены в таблице.

Значения поправочного коэффициента К = f (P,m)

Вариант 2. Имеются m не исключенных систематических погрешностей D_ci ; каждая из известных погрешностей задана доверительными границами с различными доверительными вероятностями P₁ , P₂ … Р_n. В этом случае

где – доверительная граница i-й не исключенной систематической погрешности, соответствующая доверительной вероятности Р_i; К и K_i – коэффициенты, соответствующие доверительным вероятностям Р и P_i

Вариант 3. Имеются только случайные составляющие погрешности, заданные средними квадратическими отклонениями s_сл1, s_сл2, …, s_слn (СКО), например, из технической документации СИ.

В этом случае СКО результата однократного измерения оценивают по следующей формуле

где s_сi — СКО случайных составляющих погрешностей измерения; n

— число случайных составляющих погрешностей измерения.

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения вычисляют по формуле

где z(P) — аргумент функции Лапласа для соответствующей доверительной вероятности P.

Вариант 4. Имеются только n случайных составляющих погрешности,

задаваемые СКО: s_с1, s_с2, …, s_сn , полученными экспериментально

при числе измерений n < 30. Для этого случая

где t(P,n) — коэффициент Стьюдента, определяемый по доверительной вероятности P и числу степеней свободы n, которое на 1 меньше числа испытаний.

Вариант 5. Имеются только случайные составляющие погрешности, задаваемые доверительными границами Δ_сi(P), соответствующими одинаковой доверительной вероятности P₁ = P₂ = … Р_n. Значение доверительных границ результата измерения рассчитывается по формуле

Вариант 6. Имеются только случайные составляющие погрешности, задаваемые доверительными границами Δ_сi(P) с различными доверительными вероятностями P₁ , P₂ … Р_n. Для этого случая

где z(P_i) — аргументы функции Лапласа.

Вариант 7. Имеются систематические и случайные составляющие погрешности. В этом случае порядок определения погрешности результата измерения зависит от весомости систематических и случайных погрешностей по соотношению

D_сi(Р)/s_c ( ).

Если D_сi(Р)/s_c( ) < 0,8, то в качестве погрешности результата измерения принимаются доверительные границы случайных погрешностей.

Если D_с(Р)/s_c( ) > 8, то в качестве погрешности результата измерения принимаются границы не исключенных систематических погреш­ностей.

Если 0,8 £ D_си(Р)/s_c( )£ 8, то доверительную границу погрешности результата измерения вычисляют по формуле

D(Р) = К₁[D_cи(P) + D_cл(P)]

Значения К₁ для доверительных вероятностей 0,95 и 0,99 пред­ставлены в таблице.

Выбор коэффициента К₁ в зависимости от доверительной вероятности

Dс(Р)/s ( )	0,8
К(0,95)	0,76	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
К(0,99)	0,84	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Во всех рассмотренных случаях форма представления результатов однократных измерений должна соответствовать рекомендациям Р 50.2.038-2004. При симметричной доверительной погрешности результат однократного измерения представляется в форме

А₁; ±D; Р или А_i±D; Р.

Пример 1. Измерение напряжения U_x проводилось на резисторе R = 10 Ом при температуре воздуха в помещении 30 °С вольтметром, имеющим равномерную шкалу от 0 до 15 В и входное сопротивление 2000 Ом. Стрелка прибора остановилась на отметке 2 В.

Погрешность прибора опре­деляется по формуле ±(0,2 + 0,8/U_x)%. Дополнительная температурная погрешность, по дан­ным паспорта прибора, = ±0,1%. Определить результат изме­рения.

Основная относительная погрешность при показании 2 В составит

= ± (0,2+ 0,8/2) = ±0,6%,

что в абсолютной форме составляет ±0,012 В.

При доверительной вероятности Р = 0,95 и n = 2 коэффициент К = 1.1. Следовательно, инструментальная погрешность

,

(P)=1,1

что в абсолютной форме составляет 0,013 В.

Методическая погрешность определяется соотношением сопротивления участка цепи (R = 10 Ом) и входного сопротивления вольтметра (R_\/ = 2000 Ом):

С учетом методической погрешности в виде поправки

U_x = U + DU_M = 2,01 В.

Результат измерения U_x = (2,01 ± 0,01) В; Р = 0,95.

Пример 2. У милливольтметра с равномерной шкалой и верхним пределом измерения 50 мВ при измерении напряжения стрелка остановилась на отметке 20 мВ. Измерение проводилось при температуре 22^оС. Основная погрешность (приведенная) равна 1 % верхнего предела измерения прибора. Среднее квадратическое отклонение результата измерения составляет од­ну треть основной погрешности. Дополнительная погрешность вследствие влияния внешнего магнитного поля определена по данным паспорта прибора и составляет d_д = ±0,5 %. Методическая погрешность отсутствует. Опре­делить результат измерения.

Основная абсолютная инструментальная погрешность

Основная относительная инструментальная погрешность

Суммарная не исключенная инструментальная систематическая погрешность при доверительной вероятности Р = 0,95 с К=1,1

В абсолютной форме

D_с(Р) = ±20×2,80 = ±0,560 В » 0,56 В

Доверительные границы случайной составляющей погрешности для доверительной вероятности Р = 0,95 при s(D_о) = 1/3 D_о

s(D_о) = 05/3 =0,166 » 0,17

.

Z(P) определим по таблице интеграла вероятности y(Z) при y(Z) = 0,94882 » 0,95. Находим Z = 1,95 т.е. Z(P) = 1,95.

Рассчитаем отношение

D_с(Р)/ = 0,56/0,17 = 3,29.

Погрешность результата измерения

мВ

Результат измерения в окончательном виде будет:

U_x = (20 ± 0,98) мВ; Р =0,95.

Оценивание неопределённостей результата измерений.

В настоящее время в предметной области измерений главенствующими являются две концептуальные модели:

1) концептуальная модель, основанная на погрешности измерения(классическая модель);

2) концептуальная модель, основанная на неопределенности измерения.

Последняя концептуальная модель была разработана Объединенным комитетом по руководствам в метрологии (JCGM), возглавляемым директором Международного бюро мер и весов (BIPM) и сформированным семью международными организациями. В настоящее время эта концепция неопределенности измерения одобрена международным метрологическим сообществом.

Эпоха глобального рынка ставит задачу обеспечения единства измерений в широком масштабе: методы оценки результатов измерений и выражения неопределенности должны быть глобально едиными с тем, чтобы измерения, проводимые в разных странах, были сопоставимы по единым правилам. В период вступления страны в ВТО, учитывая задачи гармонизации национальной нормативной базы при сохранении достижений отечественной метрологической школы, вопрос правильного понимания новых концепту-

альных представлений и понятий в рамках положений этой концепции планирования и организации измерений является особенно актуальным.

Сравнительный анализ концепций погрешности/неопределенности измерения

Основополагающим понятием классической концептуальной модели является погрешность Δ , определяемая выражением

ΔX = X_изм – X₀ X₀ = X_действ

где X₀ и X _действ – соответственно истинное и действительное (условно принятое истинное) значение измеряемой физической величины (ФВ);

Деление погрешностей по характеру проявления на систематические и случайные приводит к внутреннему противоречию в этой модели: анализ погрешностей содержит как статистические, так и нестатистические процедуры. А из этого следует, что не существует математически корректных и общепринятых средств комбинирования систематической и случайной составляющих погрешности в одну суммарную (полную) погрешность, которая давала бы общее представление о качестве результата измерения, т.е. его близости к истинному значению физической величины. Кроме того, невозможно корректно (а не на описательном уровне) определить X₀ и X_действ – первое является только теоретическим понятием, с его единственным и несуществующим значением, а второе «как можно ближе» (а как близко?) приближается к нему.

Преодоление указанных противоречий классической модели привело к появлению концепции неопределенности, которая определяется как «неотрицательный параметр, характеризующий рассеяние значений величины, приписываемых измеряемой величине на основании используемой информации» (заметим, что погрешность по знаку могла быть как положительной, так и отрицательной).

Вероятностная основа концепции неопределенности позволяет оценивать качество измерения, вычисляя и систематическую, и случайную погрешности на сравниваемой основе. (Соответствующие составляющие неопределенности группируются по способу оценивания в две категории типа А и типа B и обрабатываются для получения дисперсии результата измерения в соответствии с правилами математической статистики и теории вероятностей). В том что касается случайных воздействий, новая концепция дает в сущности такие же результаты, как и анализ погрешностей, но это абсолютно не так в отношении неизвестных систематических эффектов. В последнем случае результаты оценивания данных измерений признаются более приемлемыми, чем результаты анализа погрешностей.

Концепция неопределенности не отбрасывает понятие «истинное значение», оно необходимо для формулировки цели измерения, а также модели измерения, однако в интервале охвата лежит не одно, а множество истинных значений величины X .

Образно говоря, в первой модели (на основе погрешности Δ ) система отсчета связана с результатом измерения, во второй модели (на основе неопределенности ) – со значением измеряемой ФВ. Но оценка погрешности как разница между результатом измерения X_изм и значением X_дейс тоже имеет свою неопределенность, формируемую неопределенностями результата измерения и референтного значения. Таким образом, неопределенность результата измерения является его неотъемлемым свойством, независимо от выбранной модели описания его качества, и в этом смысле термин «неопределенность результата измерения» корректен как в случае использования концепции погрешности, так и в случае обращения к концепции неопределённости.

Н.П.Ординарцева, О.В.Фурман. Формирование результата измерения в условиях неопределённости. № 3. Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника.