Уравнения движения.

В качестве примера рассмотрим четыре произвольные молекулы, положения их в лабораторной системе координат определяются радиус-векторами r₁, r₂, r₃, r₄ (рис. 4.3).

Без потери физического содержания рассматриваемого вопроса можно считать все движения происходящими на плоскости. Согласно второму закону Ньютона

, (4.2)

где F_i – сумма сил, действующих на частицу с номером i со стороны всех остальных частиц. Правые и левые части каждого уравнения из (4.2) можно записать в проекциях на оси координат x, y:

где F_xi, F_yi – проекции на оси координат силы F_i, и использовано определение радиус-вектора .

Рис. 4.3. Расположение 4 частиц на плоскости и их радиус-векторы.

Каждая из сил F_xi, F_yi складывается из частных сил (из соображений удобства индекс x мы будем писать сверху), действующих на частицу i со стороны всех остальных. Найдем силу , действующей на частицу 1 со стороны частицы 2. Потенциал U_{1, 2} взаимодействия молекул 1 и 2 равен

где R_1,2 – расстояние между молекулами 1 и 2:

что следует из теоремы Пифагора. Тогда x – компонента силы , равна

Вычислим производную

Тогда искомой силы получаем выражение

. (4.3)

С физической точки зрения частица 3 отличается от частицы 2 только лишь номером. Поэтому легко сообразить, что выражение для силы , действующей на частицу 1 со стороны частицы 3, можно получить из формулы (4.3) простой заменой индекса 2 на индекс 3:

где расстояние между частицами 1 и 3 определено как

Такой же процедурой получается и . И вообще в случае N частиц

, (4.4)

, j = 2, 3, 4, …, N.

Таким образом, для случая четырех частиц-молекул уравнение движения для частицы 1 имеет вид

. (4.5)

Запишем теперь уравнение движения для частицы 2. Сила, действующая на частицу 2 со стороны частицы 1, есть . Она, согласно третьему закону Ньютона, численно равна силе , взятой с обратным знаком:

f ^x_2,1 = – f ^x_1,2,

в чем легко убедиться, переставив в (4.3) местами индексы 1 и 2. Перестановка индексов, как математическая процедура, имеет при этом ясный физический смысл – это перестановка частиц местами; расстояние между частицами не меняется: R_2,1 = R_1,2. Силы же, действующие на частицу 2 со стороны частиц 3 и 4 можно найти, не прибегая к вычислениям по аналогии с формулой (4.4), заменив индекс 1 на 2:

Данный факт является следствием тождественности всех молекул как физических объектов. Все рассматриваемые молекулы в данном контексте отличаются только лишь координатами, а любые две точки пространства эквивалентны по физическим свойствам, т.е. пространство однородно и изотропно.

Таким образом, уравнение движения (вдоль оси x) для второй частицы будет следующим:

. (4.6)

Глядя на формулы (4.5) и (4.6) можно догадаться, как будут выглядеть уравнения движения вдоль координаты x для частиц 3 и 4. В итоге имеем

Правые части выписанных уравнений можно записать в компактной форме. Такая форма очень важна при численных расчетах для организации вычислении. Нетрудно видеть, что

, (4.7)

Здесь хотя и число N = 4, но формулы (4.7) на самом деле справедливы при произвольных значениях N.

Далее, ввиду того, что в нашей системе молекул физические процессы эквивалентны вдоль координатных осей x и y, то ни одна из этих координат не является «выделенной». Простой поворот системы координат при неизменных положениях молекул с результатом перехода x ® y или наоборот, не приведет к изменению характера движения и столкновении (взаимодействия) молекул. Иначе обстояло бы дело, если бы наша система частиц-молекул находилась во внешнем поле (например, гравитационном), существенно меняющемся на масштабах порядка размеров системы. Здесь слово «существенно» означает сравнимость по численной величине изменения потенциальной гравитационной энергии частиц на разных границах системы с их (средней) кинетической энергией.

Раз мы предполагаем отсутствие (или малость в смысле вышесказанного) внешних потенциальных сил, то уравнения движения вдоль оси y могут быть получены из (4.7) простой заменой x ® y:

, (4.8)