Лекция. «Равенство треугольников» в курсе геометрии 7 класса»

Цель изучения – усвоение учащимися признаков равенства треугольников, формирование умения доказывать равенство треугольников посредством изученных признаков.

Учебник А. В. Погорелова.

1 признак. СМ. «Общую методику»

3 признак.

 

В1
Дано: DАВС и DА1В1С1.

АВ = А1В1,

ВС =В1С1,

АС =А1С1,

Доказать: DАВС = DА1В1С1.

 

2.По определению равенство треугольников предполагает наличие трёх пар равных элементов, признак сокращает их в 2 раза: до трёх пар равных элементов. Теорема играет важнейшую роль в курсе планиметрии, так как доказательство равенства треугольников станет основным методом доказательства.

3. Метод доказательства состоит в рассмотрении третьего треугольника

А2В2С2, равного треугольнику АВС и совпадающего с треугольником А1В1С1.

4.1.Самостоятельное доказательство теоремы учащимися в данном случае невозможно в связи с полным отсутствием опыта и сложностью метода доказательства.

4.2. Алгоритм доказательства:

1. Утверждаем существование треугольника А2В2С2 равного треугольнику АВС и определённым образом расположенного относительно треугольника А1В1С1.

2. Доказываем совпадение треугольников А2В2С2 и А1В1С1.

3. Делаем вывод о равенстве треугольников АВС и А1В1С1

4.3.Доказательство

1) По аксиоме VIII существует 2В2С2=DАВС:

вершина А2 совпадает с вершиной А1;

вершина С2 принадлежит лучу А1С1;

вершина В2 лежит в одной полуплоскости с вершиной В1 относительно прямой А1С1.

 
 
В1

 

 


2) Докажем, что вершины С1 и С2 совпадают.

А1С1 = АС (по условию),

АС=А2С2 (так как DА2В2С2=DАВС).

---------------------------------------------------

А1С12С2.

Следовательно, по аксиоме откладывания отрезков точки С1 и С2 совпадают.

Коррекция чертежа.

 

 

3) Докажем, что точка В2 принадлежит лучу А1В1 или лучу С1В1

Метод от противного.

Пусть точка В2 не принадлежит лучу А1В1 и лучу С1В1.

Д. П.: В1В2, М – середина В1В2

АВ= А1В1 (по условию)

АВ = А2В2 (по определению равных треугольников)

Следовательно, А1В12В2. Аналогично, С1В1 = С2В2.

Тогда DА1В1В2 и DС1В1В2 – равнобедренные. Их медианы являются высотами. То есть А1М ^ В1В2 и С1М ^ В1В2, что противоречит утверждению об единственности перпендикуляра. Утверждение неверно.



Следовательно, точка В2 принадлежит лучу А1В1 или лучу С1В1.

 

 

Коррекция чертежа

 

4) По аналогии с пунктом1 доказываем совпадение вершин В1 и В2

 

 

Коррекция чертежа.

5) Вывод. По аксиоме о о единственности прямой, проходящей через две точки, треугольники А2В2С2 и А1В1С1 совпали. По сути это два имени одного и того же треугольника. Так как DА2В2С2=DАВС, то и DА1В1С1=DАВС. Что и требовалось доказать.

Вдоказательстве теоремы используется:

· аксиома существования треугольника, равного данному (VIII);

· определение равных треугольников;

· аксиома откладывания отрезков (VI);

· свойство медианы равнобедренного треугольника.

· теорема о единственности прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через точку;

· аксиома о единственности прямой, проходящей через две точки (I).

Учебник Л.С. Атанасяна.

Условие и заключение – записаны.

Приложим DАВС к А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, В – с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1. Возможны три случая:

1) луч СС1 проходит внутри угла А1С1В1;

2) луч СС1 совпадает с одной из сторон угла А1С1В1;

3) луч СС1 проходит вне угла А1С1В1;

 

 

 


(1) (2) (3)

 

 

Рассмотрим случай 1.

 

Доказательство

 

1. АС= А1С1 (по условию),

СВ= С1В1 ( по условию).

Следовательно, DА1С1С и D В1С1С – равнобедренные.

2. Из (1):

3. Из (2):

4. (3)

АС= А1С1 (условие),

СВ= В1С1 (условие).

Следовательно, DАВС = DА1В1С1.

Случаи (2) и (3) доказываются самостоятельно.

 

Выстраивание цепочки равных треугольников – основной метод доказательства геометрии А. и П. Полезно приучить школьников эвристическому приёму: Если необходимо доказать равенство отрезков или сторон, найди треугольники их содержащие и докажи их равенство.

 

 

             
   
 
   
 
   
 
 

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Насилие на рабочем месте. | 


Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 357; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2017 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.012 сек.