Колебательное звено имеет передаточную функцию
(4.47)
где Тk – постоянная времени, - коэффициент демпфирования, k – передаточный коэффициент. Уравнение колебательного звена получим из (4.45) при (4.48)
где
Чтобы корни характеристического уравнения
(4.49)
были комплексно-сопряженными, коэффициент демпфирования должен находиться в интервале 0<xk<1. При =0 получим так называемое консервативное звено с передаточной функцией
(4.50)
Такая система не рассеивает энергии и в ней протекают незатухающие колебания. Если >1, то звено может быть представлено в виде двух последовательно соединенных апериодических звеньев с различными постоянными времени, если =1, то апериодические звенья имеют одинаковые постоянные времени.
В качестве примера колебательного звена рассмотрим RLС-цепочку (рис. 4.10).
По второму закону Кирхгофа: (4.51)
где
Исключая промежуточные переменные приведём уравнение (4.51) к виду:
(4.52)
Уравнение (4.52) совпадает с (4.48) при k=1,
Характеристики звена:
а) Переходную характеристику колебательного звена находим как решение дифференциального уравнения (4.48) при нулевых начальных условиях и входном воздействии
Решение уравнения (4.48) есть сумма решения однородного уравнения
(4.53)
и частного решения уравнения (4.48), которое здесь можно считать константой, равной
Однородному уравнению (4.53) соответствует характеристическое уравнение
(4.54)
корни которого при условии комплексно-сопряжённые:
(4.55)
Обозначим: Величину называют частотой недемпфированных колебаний или собственной частотой. Величина называемая декрементом колебаний, показывает скорость изменения амплитуды колебаний со временем, а величина есть частота свободных колебаний выходной величины .
Решение уравнения (4.48) может быть записано так:
(4.56)
Продифференцируем выражение (4.56) по времени:
(4.57)
Подставив в (4.56) и (4.57) начальные условия, получим:
(4.58)
Из уравнений (4.58) находим константы интегрирования А1 и А2:
(4.59)
Подставив (4.59) в выражение (4.56), получим переходную функцию колебательного звена:
(4.60)
где
В первоначальных обозначениях решение (4.60) примет вид:
(4.61)
В качестве примера на рис. 4.11 изображен график переходной функции колебательного звена для случая и k=1
где .
б) Частотные характеристики колебательного звена имеют вид
(4.62)
где АЧХ: (4.63)
ФЧХ: . (4.64)
Из выражения (4.64) видно, что при изменении частоты w от 0 до в точке w=wa=1/Tk аргумент функции arctg терпит разрыв 2-го рода. Так как есть непрерывная функция частоты, построение ФЧХ следует выполнять по формулам:
(4.65)
АФХ звена показана на рис. 4.12. Она начинается на действительной оси в точке k при При частоте кривая подходит к началу координат и касается действительной оси. При этом вектор приближается к отрицательному направлению вещественной оси. Выходная величина при частоте отстает от входной на 180°.
в) ЛАХ колебательного звена описывается выражением
(4.66)
При значениях частоты w<1/Tk и w>1/Tk ЛАХ (2.116) может быть приближенно заменена прямыми линиями (асимптотами)
ЛАХ колебательного звена при малых w асимптотически стремится к прямой имеющей нулевой наклон, а при больших w асимптотически стремится к прямой имеющей наклон – 40 дБ на декаду:
Кривые в зависимости от величины могут иметь существенный пик при
т.е. при величина пика по сравнению с величиной асимптотической ЛАХ равна . Например, при пик составляет 0 дБ, а при величина пика равна 20 дБ. График ЛФХ строят по формулам (4.65).
На рис. 4.13 приведены графики ЛАХ и ЛФХ для значений , k=1, а по оси частот отложены значения нормированной частоты .
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 148;