Уравнение касательной

<16 17 181920 21 22 >

Рассмотрим случай касательной к овальной квадрике, (D = 0).

4∙(А^Т∙Q^Т∙В)²-4∙(А^Т∙Q∙А)∙(В^Т∙Q∙В)=0 (А^Т∙Q^Т∙В)²-(А^Т∙Q∙А)∙(В^Т∙Q∙В)=0.

Если точку А фиксировать, а точку В сделать переменной тогда уравнение касательной к квадрике, проведенной из точки А, будет следующим: (А^Т∙Q^Т∙Х) ² - ( А^Т∙Q∙А)∙( Х ^Т∙Q∙Х) =0 (**)

Фактически это уравнение является квадратичной формой и в то же время уравнением прямой, то есть распадается на прямые. Проанализируем это уравнение для случая, когда точка А принадлежит квадрике и не принадлежит квадрике.

· А КВП А^Т∙Q∙А=0 (А^Т∙Q^Т∙Х)²=0 - квадратичная форма (**) распалась на две совпавшие прямые. Т.о. А^Т∙Q^Т∙Х =0 - уравнение касательной.

· А КВП.

(А^Т∙Q^Т∙Х)² - (А^Т∙Q∙А)∙(Х ^Т∙Q∙Х) = 0 - ранг этой квадратичной формы не может равняться 3 потому, что это прямые, а значит квадратичная форма должна быть вырожденной. Так же ранг этой квадратичной формы не может быть равен 1. Докажем это от противного.

Пусть ранг (**) равен 1, тогда она распадается на две совпавшие прямые

(А^Т∙Q^Т∙Х)² - (А^Т∙Q∙А)∙(Х ^Т∙Q∙Х) = (и∙Х)²

Х^Т∙Q∙Х= ((А^Т∙Q^Т∙Х)² -(и∙Х)²)= ((А^Т∙Q^Т∙Х)- и∙Х) ((А^Т∙Q^Т∙Х)+и∙Х)

овальная квадрика Х^Т∙Q∙Х распалась на линейные множители, на прямые - это противоречие. Т.о. ранг (**) равен 2, т.е. это или две пересекающиеся прямые или две мнимые прямые пересекающиеся в одной действительной точке.

Вывод: Если точка принадлежит квадрике, то через неё можно провести только одну касательную. Если точка не принадлежит квадрике, то касательных или две или ни одной.

Определение: Точка называется внешней относительно квадрики, если через нее можно провести две касательных и внутренней, если касательных нет.

Лемма. Пусть дана овальная квадрика х₁²+х₂²-х₃²=0 и точка . Точка является внутренней точкой овальной квадрики тогда и только тогда, когда а₁²+а₂²-а₃² < 0 (если а₁²+а₂²-а₃² > 0 - внешней).

Доказательство. (Самостоятельно).

Задача. Дана квадрика 2∙х₁²+х₃²-2∙х₁∙х₂-2∙х₁∙х₃=0.

Найти уравнения касательных к квадрике, проходящих через точки А , В .

Решение. Матрица квадрики Q= .

А^Т∙Q∙А=(1:8:5)∙ ∙ =(-11:-1:4)∙ =1 А КВП,

Применим формулу (**) (А^Т∙Q^Т∙Х)² - (А^Т∙Q∙А)∙(Х ^Т∙Q∙Х) = 0.

А^Т∙Q∙Х=( 1: 8 : 5 )∙ ∙ =(-11 : -1 : 4)∙ 11∙х₁+ х₂- 4∙х₃=0

(11∙х₁+ х₂- 4∙х₃)² - 1∙(2∙х₁² + х₃² - 2∙х₁∙х₂ - 2∙х₁∙х₃) =

= 121∙х₁² + х₂² + 16∙х₃² + 22∙х₁∙х₂ - 88∙х₁∙х₃ - 8∙х₂∙х₃ - 2∙х₁² - х₃² + 2∙х₁∙х₂ + 2∙х₁∙х₃ =

= 119∙х₁² + х₂² + 15∙х₃² + 24∙х₁∙х₂ - 86∙х₁∙х₃ - 8∙х₂∙х₃ =

= х₂² +2∙х₂∙12∙х₁ -2∙х₂∙4∙х₃+144∙х₁² +16∙х₃² -2∙12∙х₁∙4∙х₃ -144∙х₁² -16∙х₃² +96∙х₁∙х₃+119∙х₁² +15∙х₃² -86∙х₁∙х₃ =

= (х₂+ 12∙х₁ -∙4∙х₃ )² - 25∙х₁² - х₃² + 10∙х₁∙х₃ = (х₂+ 12∙х₁ -∙4∙х₃ )² - (5∙х₁ - х₃ )² =

= ((х₂+ 12∙х₁- 4∙х₃) - (5∙х₁- х₃))∙((х₂+ 12∙х₁- 4∙х₃) + (5∙х₁- х₃))=

= (х₂+ 12∙х₁- 4∙х₃- 5∙х₁+ х₃)∙(х₂+ 12∙х₁- 4∙х₃+ 5∙х₁- х₃)=

= (х₂+7∙х₁-3∙х₃)∙(х₂+17∙х₁-5∙х₃) = (7∙х₁+ х₂- 3∙х₃)∙(17∙х₁+ х₂ - 5∙х₃) = 0.

Т.о. касательные: 7∙х₁+ х₂- 3∙х₃= 0 и 17∙х₁+ х₂ - 5∙х₃ = 0.

В^Т∙Q∙В=(18:13:6)∙ ∙ = (17:-18:-12) ∙ =0 В КВП.

Уравнение касательной:

В^Т∙Q∙Х = ( 18 : 13 : 6 )∙ ∙ = 0 ( 17 : -18 : -12 )∙ = 17∙х₁-18·х₂ - 12∙х₃ = 0.

Полюс и поляра

Рассмотрим овальную квадрику Х^Т∙Q∙Х = 0 и точки А и В не принадлежащие квадрике.

Пусть M и L точки пересечения квадрики и прямой (АВ).

Определение: Если (AB,ML)=-1, то говорят что овальная квадрика гармонически разделяет пару АВ, или точки А и В гармонически сопряжены относительно овальной квадрики.

На прямой (АВ) рассмотрим репер R(A,B,M), тогда в этом репере и точки А , В , М и пусть точка L .

Если (AB,ML)= -1, тогда = -1 α = 1 и β = -1 , т.е. L .

Таким образом, М = А+В и L = А – В.

Значит, для точек пересечения прямой (АВ) с квадрикой .

Но являются корнями уравнения λ²∙а + 2∙λ∙μ∙с + μ²∙b=0,

где а = А^Т∙Q∙А, b = В^Т∙Q∙В, с = А ^Т∙Q∙В = В^Т∙Q∙А.

По теореме Виета сумма корней равна среднему коэффициенту, взятому с противоположным знаком: + = - с с = 0 А^Т∙Q∙В = В^Т∙Q∙А = 0 - условие гармонической сопряженности точек А и В относительно квадрики.

Фиксируем точку А КВП. Рассмотрим все прямые проходящие через эту точку в каждом случае будет своя точка В гармонически сопряженная с А относительно овальной квадрики. Сделаем точку В переменной, по условию гармонической сопряженности точек относительно овальной квадрики получим: А^Т∙Q∙Х =0 - это уравнение I степени, то есть прямая, причем это прямая единственна. Эту прямую будем называть полярой точки А. Если точка А КВП, то уравнение А^Т∙Q∙Х =0 определяет касательную к квадрике в точке А.

Определение: Полярой точки А называется прямая, состоящая из точек гармонически сопряженных с данной точкой относительно овальной квадрики.

Вывод: Полярой точки А является прямая, которая имеет уравнение: А^Т∙Q∙Х =0 и

в случае А КВП является касательной к овальной квадрике,

в случае А КВП состоит из точек гармонически сопряженных с точкой А относительно овальной квадрики.

Определение:Уравнение А^Т∙Q∙Х =0 называется уравнением поляры точки А относительно овальной квадрики.

Если уравнение прямой а∙Х=0, тогда λ∙а = А^Т∙Q (с точностью до пропорциональности).

λ∙а =А^Т∙Q λ∙а∙Q^-1 =А^Т∙Q∙Q^-1 μ∙А^Т= а∙Q^-1 или μ∙А= Q^-1∙а^Т

(Почему существуетQ^-1 и почему (Q^-1)^Т= Q^-1? )

Вывод: Для любой прямой существует точка, для которой эта прямая является полярой относительно квадрики.

Определение: Точка, для которой данная прямая относительно овальной квадрики является полярой, называется полюсом прямой.

Свойства:

1. Если точка А внешняя по отношению к овальной квадрике, то ее поляра проходит через точки касания касательных проведенных из точка А к КВП.

Доказательство. Координаты точек касания Х₁ и Х₂ находятся из системы , первое уравнение это уравнение квадрики, второе уравнение это уравнение поляры, а значит это точки пересечения поляры и квадрики. □

2. Если точка и прямая инцидентны, то их поляра и полюс тоже инцидентны.

Доказательство. Пусть а – поляра точки А и В - полюс прямой b,

значит λ∙а =А^Т∙Q и μ∙В= Q^-1∙b^Т. Докажем, что А b B a.

Уравнение прямой b∙Х = 0, тогда А b b∙А =0.

Найдем а∙В=(А^Т∙Q)∙(Q^-1∙b)=А^Т∙(Q∙Q^-1)∙b^Т=А^Т∙Е∙b^Т=А^Т∙b^Т=(А∙b)^Т=0 - это означает, что точка В лежит на прямой а. □

Замечание: Свойство 2 позволяет находить полюс прямой. Выбрав на данной прямой две любые точки и построив их поляры, точка их пересечения будет полюсом данной прямой.

Задача. Дана квадрика х₁² - 2∙х₂²+ 4∙х₂∙х₃ =0 . Найти уравнение поляры для А и координаты полюса прямой b: х₁+х₂–2∙х₃=0.

Решение. Q= Q^-1=

λ∙а=А^Т∙Q=( 1: 3 :-1) ∙ =(1 :-8: 6) х₁ -8∙х₂+6∙х₃=0.

μ∙В=Q^-1∙b^Т= ∙ = В= .

Задача. Дана квадрика 2∙х₁² + х₃² - 2∙х₁∙х₂ -2∙х₁∙х₃ =0 . Найти уравнения касательных к квадрике из точки А .

Решение. Воспользуемся свойством (1). Q= . Найдем уравнение поляры.

λ∙а = А^Т∙Q=( 1: 8 : 5 )∙ =( -11 : -1 : 4 ) 11∙х₁ + х₂ - 4∙х₃ =0.

Найдем точки пересечения квадрики поляры.

D=100–96 = 4 и . и

В и С - точки пересечения поляры и квадрики, тогда прямые (АВ) и (АС) будут касательными.

(АВ) : =0 - 7∙х₁ - х₂ + 3∙х₃ =0.

(АС) : =0 17∙х₁ + х₂ - 5∙х₃ =0.

Определение: Трехвершинник называется автополярным относительно овальной квадрики, если каждая его вершина является полюсом противоположной стороны.

Замечание: Автополярных трехвершинников может быть много.

Теорема. Для того чтобы уравнение овальной квадрики было каноническим необходимо и достаточно, чтобы ΔЕ₁Е₂Е₃ был автополярным относительно данной квадрики.

Доказательство. Необходимость:

Дано q₁₁∙х₁² + q₂₂∙х₂² + q₃₃∙х₃² =0 .

Доказать что ΔЕ₁Е₂Е₃ автополярный трёхвершинник.

Достаточность: Найти матрицу Q , используя то, что точка Е₁

является полюсом прямой (Е₂Е₃ ) и т.д. (самостоятельно).

Определение: Четырехвершинник называется вписанным в овальную квадрику, если его вершины инцидентны квадрике.

Теорема. Если четырехвершинник вписан в овальную квадрику, тогда диагональный трехвершинник является автополярным относительно квадрики.

Доказательство. Пусть АВСD – четырёхвершинник вписанный в овальную квадрику и ΔPQR - диагональный трёхвершинник.

Докажем, что Р - полюс прямой (QR).

По гармоническим свойствам полного четырехвершинника гармоническими будут: (CB,PK)=(AD,PN)= -1, т.е. точки K и N гармонически сопряжены с точкой Р относительно овальной квадрики, а значит они принадлежат поляре точки Р. В тоже время точки K и N лежат на прямой (QR) (QR) - поляра точки Р. Для точек Q и R доказательство аналогично. □