Первый замечательный предел

Определение 1. Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Например, – бесконечно малая функция в окрестности точки , так как .

Теорема 1. Для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы имело место представление , где – бесконечно малая в окрестности точки функция.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Положим .

Тогда – бесконечно малая в окрестности точки функция и .

Достаточность. Пусть , где – бесконечно малая в окрестности точки функция. Тогда . Теорема доказана.

Остановимся на сравнении бесконечно малых функций.

Определение 2. Говорят, что функции и являются эквивалентными бесконечно малыми в окрестности точки функциями, если .

Пишут: ~ при .

Определение 3. Говорят, что функции и являются в окрестности точки бесконечно малыми функциями одного порядка, если . Если же , то говорят, что является в окрестности точки бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Покажем, что при .

Теорема 2 (первый замечательный предел). Справедливо равенство .

С В D A

Доказательство. Построим единичный круг и центральный угол .

Видим, что . (16.1) Имеем , (16.2) , (16.3)

x

О

. (16.4)

Из (16.1)–(16.4) получаем

Разделив последнее неравенство на , получим

. (16.5)

Разделив на каждую из частей этого неравенства, имеем

. (16.6)

Поскольку (см. (16.5)) и , по

Теореме о промежуточной переменной , то есть . А так как

– функция четная, то . Поэтому

. (16.7)

Учитывая, что неравенство (16.6) сохраняется и для в силу четности всех входящих в него функций, из (16.7) и теоремы о промежуточной переменной получаем . Теорема доказана.

Установим теперь следствия первого замечательного предела. Покажем, что при . Имеем

при ;

при .

При раскрытии неопределенностей типа полезна

Теорема 3. Если – бесконечно малые функции в окрестности точки и , то

Доказательство. Имеем

. Теорема доказана.

Например, .

Замечание. В тех случаях, когда в числителе или знаменателе записана сумма, при раскрытии неопределенностей нельзя заменять отдельные слагаемые эквивалентными функциями, так как такая замена может привести к неверному результату. Например, в пределе нельзя заменить на и на х, так как получается выражение , не имеющее смысла. Правильно вычислять предел так:

Рассмотрим теперь бесконечно большие функции.

Определение 4. Если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к , то говорят, что функция имеет в точке бесконечный предел, а функцию называют бесконечно большой при . Пишут: .

Можно дать равносильное

Определение . Говорят, что функция имеет в точке бесконечный предел, если для любого числа найдется такое число , что для всех значений , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . В этом случае называется бесконечно большой функцией в точке .

Аналогично определяются соотношения , .

Сравнивают бесконечно большие функции так же, как и бесконечно малые функции.

Определение 5. Если и – бесконечно большие функции при и , то говорят, что – бесконечно большая более высокого порядка, чем . Говорят, что функции и имеют одинаковый порядок роста, если .