Свободные незатухающие колебания.

Отклонение x колебательной системы от положения равновесия при малых колебаниях удовлетворяет уравнению свободных гармонических колебаний

,

решением которого является гармоническая функция

,

где А – амплитуда колебаний;

φ₀ – начальная фаза;

ω₀ - циклическая частота колебаний.

Период колебаний Т – промежуток времени, в течение которого колебательная система совершает одно полное колебание, т.е. приходит в начальное состояние:

,

где N –полное число колебаний за промежуток времени Δt, ν – линейная частота.

Скорость v и ускорение a материальной точки, совершающей гармонические колебания (гармонического осциллятора):

,

Пружинный маятник – идеальная колебательная система, состоящая из тела, рассматриваемого в виде материальной точки, закрепленного на одном конце легкой пружины, другой конец которой неподвижен в некоторой инерциальной системе отсчета.

.

Период колебаний пружинного маятника массы m с жёсткостью k, равен

.

Математический маятник – идеальная колебательная система, состоящая из легкой нерастяжимой нити длины l, один конец которой фиксирован (точка подвеса), а на другом ее конце закреплено тело, рассматриваемое в виде материальной точки.

Период колебаний математического маятника равен

.

Физический маятник – идеальная колебательная система в виде абсолютно твердого тела, насаженного на горизонтальную неподвижную ось, не проходящей через центр тяжести этого тела. (Рис. 2). Сила трения в оси подвеса (Oz,) тела отсутствует.

Рис.2.

Период колебаний физического маятника равен

,

где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса маятника и перпендикулярной плоскости колебаний;

l – расстояние OC от точки подвеса до центра масс маятника.

Приведённая длина физического маятника: . Используя приведенную длину, формуле периода колебаний физического маятника можно придать вид, аналогичный периоду математического маятника:

.

Кинетическая энергия гармонического осциллятора:

.

Потенциальная энергия гармонического осциллятора:

.

Полная энергия гармонического осциллятора:

.

Средние значения кинетической и потенциальной энергий гармонического осциллятора:

.

Результатом сложения гармонических колебаний, происходящих с одинаковой частотой в одном направлении, является также гармоническое колебание с амплитудой

и начальной фазой

,

где A₁, A₂, φ₁, φ ₂ – амплитуды и начальные фазы складывающихся колебаний.

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

,

имеет вид:

а) прямой , если разность фаз ;

б) прямой , если разность фаз ;

в) эллипса , если разность фаз ;

г) окружности , если разность фаз и амплитуды равны: ;