Теплоотдача при турбулентном пограничном слое

Запишем уравнения переноса теплоты (5.42) и количества движения (5.43) поперек турбулентного пограничного слоя в следующем виде:

; (6.15)

; (6.16)

где обозначает отношение .

Величину называют турбулентным числом Прандтля. Как показано в § 5.4, кинематические коэффициенты турбулентного переноса теплоты и количества движения и зависят от параметров процесса турбулентного течения. Вследствие этого в общем случае турбулентное число Прандтля также может являться параметром процесса. С учетом (6.15) и (6.16) дифференциальные уравнения энергии (5.44) и движения (5.15) для турбулентного пограничного слоя примут вид:

; (6.17)

. (6.18)

Если и , то уравнения (6.17) и (6.18) становятся идентичными. В этом случае при идентичных граничных условиях поля температуры и скорости будут подобны.

Чтобы проинтегрировать уравнения (6.17) и (6.18), необходимо иметь сведения о коэффициентах турбулентного переноса теплоты и количества движения. Можно воспользоваться интегродифференциальными уравнениями (6.3) и (6.5), но для этого необходимо знать, в частности, распределения скорости и температуры в турбулентном потоке.

Для создания совершенных расчетных формул необходимо сочетание теоретических и экспериментальных методов исследования, позволяющих проникнуть в механизм турбулентного переноса теплоты и количества движения при различных условиях течения.

Профиль скорости в турбулентном пограничном слое.Для определения профиля осредненной скорости воспользуемся уравнениями (5.47) и (5.50):

,

отсюда

,

причем отдельные части этого уравнения имеют размерность скорости.

Предположим, что касательное напряжение турбулентного течения не изменяется по , т.е. . Обозначим через и назовем динамической скоростью, тогда

и

. (6.19)

Уравнение (6.19) выражает так называемое логарифмическое распределение осредненной скорости турбулентного течения в пристенной области. Определим постоянную согласно условию . Из уравнения (6.19) следует, что при , т.е. получаем абсурдный результат.

Необходимо учесть силы вязкости, которые должны быть велики непосредственно у стенки. Слой жидкости у стенки, в котором преобладают силы вязкости и который является составной частью турбулентного пограничного слоя, называют вязким подслоем (или ламинарным подслоем). Учитывая только силы вязкости, уравнение движения можно записать в виде , откуда следует, что и , т.е. в вязком подслое имеет место линейное изменение скорости. Таким образом, в данном случае , отсюда

, (6.20)

где – толщина подслоя; – скорость на внешней границе вязкого подслоя. Из (6.20) следует, что

.

Определим постоянную интегрирования в уравнении (6.19) из условия, что при ; . Получим:

.

Подставляя значение в (6.19), после некоторых преобразований (учитываем, что разность логарифмов равна логарифму частного) получаем:

. (6.21)

Формулу (6.21) называют универсальным логарифмическим распределением осредненной скорости в пристенной области турбулентного потока. Здесь

и .

Формула (6.21) неоднократно сопоставлялась с опытными данными при различных значениях (исключая очень малые значения внутри вязкого подслоя). Результаты сопоставления можно отразить, в частности, графиком на рис.6.8.

Рисунок 6.8. Распределение безразмерной скорости по толщине турбулентного пограничного слоя.

1 – изменение скорости согласно уравнению (6.22); 2 – изменение скорости согласно уравнению (6.23); + – опыты с воздухом; - с водой; – с трансформаторным маслом

Кривая 1 соответствует линейному изменению скорости в вязком подслое:

. (6.22)

Кривая 2 отражает логарифмическое распределение осредненной скорости в пристенной турбулентной части пограничного слоя. В этой области

. (6.23)

Пересечению кривых 1 и 2 соответствует значение , примерно равное 12. Отсюда можно оценить расчетную толщину вязкого подслоя.

. (6.24)

При больших значениях распределение скоростей отклоняется от логарифмического.

Опыты показывают сложность движения в турбулентном слое (рис.6.9). Вязкий подслой не имеет строго ламинарного течения вдоль стенки. Пульсации, особенно крупномасштабные (низкочастотные), проникают в вязкий подслой, где их течение регламентируется вязкими силами. Движение в вязком подслое, вообще говоря, является нестационарным, граница подслоя четко не определена.

Рисунок 6.9. Схема строения турбулентного пограничного слоя.

А – внешняя область; Б – пристенная область (I–вязкий подслой,

II – промежуточный слой); на рисунке масштабы толщин смещены

Внешняя граница вязкого подслоя является мощным генератором пульсационного движения. Наиболее высокая интенсивность турбулентности наблюдается в пристенной турбулентной области. Если, например, степень турбулентности во внешнем потоке может составлять доли процента, то в пристенной области она может достигать нескольких десятков процентов. Пристенная область составляет примерно 20% толщины пограничного слоя (толщина вязкого подслоя на один-два порядка меньше). Течение во внешней области пограничного слоя, составляющей примерно 80% его толщины, зависит, в частности, от течения во внешнем потоке.

Внешняя граница турбулентного пограничного слоя непрерывно пульсирует. Это связано с периодическим проникновением масс жидкости внешнего потока, где степень турбулентности может быть невысока, во внешнюю область пограничного слоя. Такое взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком приводит к образованию области перемежаемого течения.

Профиль температуры в турбулентном пограничном слое. Аналогично вязкому подслою непосредственно у стенки можно выделить тепловой подслой. Он характеризуется преобладанием переноса теплоты теплопроводностью над турбулентным переносом.

Совпадение толщин вязкого подслоя и теплового имеет место при . При имеем, что . Последнее неравенство равносильно утверждению, что в части вязкого подслоя от до . теплота переносится не только теплопроводностью, но и пульсациями. Пульсации, проникшие в вязкий подслой, оказываются существенными для теплового переноса, но не дают значительного вклада в перенос количества движения по сравнению с молекулярным вязкостным переносом. Такой характер течения в особенности должен проявляться для очень вязких жидкостей .

В предельном случае должна иметь место обратная картина.

Для малотеплопроводных очень вязких сред, какими являются жидкости с большими числами , тепловой подслой является основным термическим сопротивлением.

Ввиду интенсивного турбулентного переноса толщины теплового и динамического пограничных слоев и практически совпадают. При турбулентном течении толщина слоя больше, чем при ламинарном. Это объясняется влиянием турбулентной вязкости.

Поскольку в тепловом подслое перенос теплоты определяется теплопроводностью, изменение температуры по его толщине описывается уравнением прямой (как для плоской стенки).

Распределение температуры в подслое может быть представлено следующим образом:

, (6.25)

где ; .

Распределение температуры в зоне логарифмического распределения скорости можно описать логарифмическим законом:

. (6.26)

Величина является функцией числа Прандтля (рис.6.10); она учитывает изменение температуры, связанное с неравенством толщин подслоев и .

Рисунок 6.10. Зависимость в формуле (6.26) от числа Прандтля

Знание распределений скорости и температуры позволяет рассчитать теплоотдачу с помощью интегральных уравнений теплового потока и импульса, полученных в § 6.1.

Коэффициент теплоотдачи. Чтобы избежать громоздких выкладок, связанных с использованием интегральных уравнений, воспользуемся упрощенным выводом. Будем при этом полагать, что , но отличие числа значений Прандтля от единицы не слишком велико.

Исходя из линейного распределения скорости и температуры, для вязкого и теплового подслоев можно написать:

и .

Значения и не изменяются по толщинам и . Из последних уравнений следует:

, (6.27)

где ; – температура при , т.е. на внешней границе теплового подслоя; соответственно – скорость при ; – фиксированная температура поверхности стенки.

Для турбулентной части пограничного слоя молекулярный перенос теплоты и количества движения можно не учитывать. Будем полагать также, что здесь В этом случае распределения осредненных скорости и температуры будут идентичны. Тогда из уравнений (6.15) и (6.16) следует, что в турбулентной части пограничного слоя

.

Поскольку и , последнее уравнение запишем в виде

. (6.28)

На границе теплового подслоя нет разрыва теплового потока. Поэтому значения , выраженные согласно уравнениям (6.27) и (6.28), можно приравнять. Пренебрежем при этом возможным различием касательного напряжения трения в уравнениях (6.27) и (6.28). Это различие обусловлено тем, что в общем случае вблизи стенки (так как ).

Решим уравнения (6.27) и (6.28) относительно разностей температур:

и .

Суммируя эти уравнения, получаем:

. (6.29)

Согласно уравнению (6.24) , отсюда

. (6.30)

Примем, что отношение толщин теплового и вязкого подслоев описывается уравнением (6.8), полученным ранее для отношения толщины теплового и динамического пограничных слоев в случае ламинарного течения:

. (6.31)

Подставляя в (6.29) значения и согласно уравнениям (6.30) и (6.31) и решая уравнение (6.29) относительно , получаем:

. (6.32)

Для характеристики касательного напряжения трения на стенке используют коэффициент трения , равный по определению

. (6.33)

Подставив в (6.32) значение и поделив левую и правую части уравнения (6.32) на ,будем иметь:

. (6.34)

Комплекс безразмерен, его называют числом Стантона и обозначают символом . Число Стантона можно выразить через числа и :

. (6.35)

При уравнение (6.34) упрощается и принимает вид:

. (6.36)

Последнее уравнение является математическим выражением аналогии переноса теплоты и количества движения при и . Эта аналогия впервые показана О.Рейнольдсом (1874) г.). Формула (6.36) достаточно хорошо описывает теплоотдачу газов при небольших температурных напорах.

Значение меняется по толщине пограничного слоя. В области, где выполняются логарифмические законы распределения скорости и температуры, турбулентное число Прандтля равно примерно 0,8 (опыты с воздухом, водой и трансформаторным маслом). Учет этого обстоятельства приводит к формуле

. (6.37)

В этом уравнении по сравнению с формулой (7.34) несколько изменены некоторые постоянные

На рис.6.11 дано сравнение результатов расчета по формуле (6.37) с опытными данными при различных числах Прандтля.

Рисунок 6.11. Теплоотдача пластины при турбулентном пограничном слое,

– воздух; - вода; – трансформаторное масло

При использовании формулы (6.37) для расчета теплоотдачи капельных жидкостей рекомендуется умножить полученное значение числа на поправку , где приближенно . Уточненные показатели степени можно взять из рис.6.12. При течении воздуха вводится поправка , где в случае нагревания потока газа .

Рисунок 6.12. Влияние переменности физических свойств капельной жидкости на теплоотдачу при турбулентном пограничном слое

[ –по формуле (6.37)]

Формула (6.36), справедливая при , может быть распространена на случай с помощью экспериментально определенной функции , вводимой в уравнение (6.36) как множитель.

Используя формулу Прандтля

(6.38)

и вводя поправку , получаем широко распространенную в расчетной практике формулу

. (6.39)

За определяющую принята температура жидкости вдали от тела (за исключением , выбираемого по ). Определяющим размером является координата , отсчитываемая от начала участка теплообмена. Эти рекомендации относятся как к формуле (6.39), так и к формуле (6.37).

Согласно формуле (6.39) . Среднеинтегральное значение при этом равно .

Если вся пластина занята турбулентным слоем (при высокой степени турбулентности набегающего потока, неудобообтекаемости передней кромки и т.п.), то изменение коэффициента теплоотдачи вдоль пластины имеет вид, изображенный на рис.6.13 (кривая 1). При наличии на передней части пластины ламинарного пограничного слоя коэффициент теплоотдачи изменяется по более сложному закону (рис.6.13), кривая 2). В этом случае среднюю теплоотдачу необходимо рассчитывать отдельно для участков с различными режимами течения.

Рисунок 6.13. Изменение коэффициента теплоотдачи вдоль пластины

1 – полностью турбулентное течение в пограничном слое; 2 – смешанное течение ( – ламинарное течение, б – переходное, в – турбулентное)

Область переходного течения не всегда может быть определена достаточно точно. Поэтому в расчетах часто полагают, что переход из ламинарной формы течения в турбулентную происходит при определенном значении , т.е. заменяют отрезок точкой.

При развитом вынужденном турбулентном течении теплоотдача, как правило, не зависит от числа Грасгофа (исключением может явиться околокритическая область).

Опыты с воздухом показывают, что по мере повышения степени турбулентности набегающего потока в турбулентном пограничном слое возрастают поперечные пульсации скорости и длина пути смешения. Это прежде всего проявляется во внешней области слоя. Как следствие, возрастают и коэффициенты трения и теплоотдачи (рис.6.14).

Рисунок 6.14. Влияние степени турбулентности набегающего потока

на коэффициенты трения и теплоотдачи при турбулентном

течении в пограничном слое

–коэффициент трения и число Нуссельта при турбулизированном внешнем потоке, – то же при ;

Формулы, определяющие теплоотдачу пластины, могут быть использованы также для расчета теплоотдачи при внешнем продольном омывании одиночного цилиндра, если его диаметр существенно больше толщины пограничного слоя.