Однофазная сжимаемая среда

p1, v1, T1

w2

p2

Адиабатное обратимое (т.е. без трения) истечение газа из сопла, соединенного с резервуаром большого объема.

Параметры газа в резервуаре – p₁, v₁, Т₁.

Скорость газа на входе в сопло – w₁.

Давление газа на выходе из сопла – p₂.

Определим скорость истечения газа из сопла w₂.

Для идеального газа уравнение адиабаты

pv^к=const

(1)

(w₁»0)

Расход газа через сопло

- объемный расход

- массовый расход

Заменяем v₂ из уравнения адиабаты

Подставляем w₂

(2)

y=p₂/p₁

G

Gmax

K

Сен-Венан (1839) – при расширении газа в суживающемся сопле невозможно получить давление газа ниже некоторого критического давления истечения p*, соответствующего максимальному расходу газа через сопло.

Скорость газа на выходе из сопла w₂ растет с уменьшением y лишь до тех пор, пока p₂ не уменьшится до p*.

Дальнейшее снижение давления за соплом не приводит к росту w₂.

Исследуем уравнение (2) для G на максимум. Дифференцируем квадратные скобки по y и приравниваем нулю

Отсюда получаем (3)

Подставим y_кр в уравнение (1) для w₂

(4)

Максимальный расход

(5)

Заменим в уравнении (4) величины p₁ и v₁ через параметры газа в выходном сечении сопла p* и v*.

Из уравнения адиабаты

Подставим (3)

p₁ выражается через p* из (3)

a – местная скорость звука.

Скорость звука – скорость распространения слабых возмущений в сжимаемой среде.

Уменьшаем давление газа за соплом – распространяется волна разрежения со скоростью (a-w). Когда р₂=р* и скорость истечения равна a, то при дальнейшем снижении давления среды ниже p* волна разрежения не сможет распространиться вдоль сопла, т.к a=w и a-w=0.

Поток в сопле «не знает» о том, что давление за соплом снизилось.

Три равноценных определения критического расхода:

1) Критический расход – это максимально возможный расход через данное сопло.

2) Если снижение давления за соплом не вызывает дальнейшего увеличения расхода через сопло, то достигнутый расход называется критическим расходом.

3) Критический расход – это расход, при котором скорость течения в сопле (в самом узком месте) равна местной скорости звука.

Двухфазные течения

Скорость звука в двухфазных потоках однозначно не определена. Есть скорости звука для каждой фазы, есть скорость звука двухфазной смеси, зависящая от режима течения и геометрии.

1 Равновесная гомогенная модель (НЕМ), Генри, Фауске, 1971

Предположения:

1) скорости фаз равны;

2) термодинамическое равновесие фаз.

Соотношения для однофазной среды можно применить для равновесной гомогенной модели.

Первый закон термодинамики

dH+wdw=0.

Интегрируем

Н₁ – энтальпия в сосуде (w₁=0);

r_2, Н₂ – плотность и энтальпия на срезе сопла.

Предполагается, что течение изоэнтропное. Условия на срезе определяются как

x₂ – массовое расходное паросодержание на срезе сопла

s₁ – энтальпия в сосуде;

s_f s_g – энтропия жидкости и газа.

а_НЕ – гомогенная равновесная скорость звука.

Все свойства пара и воды вычисляются при давлении p₂, предполагая условия насыщения. Находим максимум G относительно p это легче делать численно, варьируя p₂.

1) Задаем p₂

2) Находим ρ₂ и H₂

3) Определяем G

4) И т.д. пока не найдем максимальное значение G

Figure 4.3. Theoretical Values for the Velocity of Sound in Equilibrium, Homogeneous Steam-Water Mixture

Figure 4.3 illustrates how this sound speed varies with gas content for an air-water system at atmospheric pressure. Notice that the mixture sound speed falls dramatically to less than 100 m/s with a small amount of gas present. One must keep in mind that this is an idealized model and that transmission of pressure waves may occur at higher speeds in the real system but at lower amplitudes, because the actual flow is not completely homogeneous and each phase has a characteristic sound speed which is higher.

Равновесная гомогенная модель даст меньшие значения критического расхода для коротких труб и недогретой воды (либо насыщенной воды с малым x). В этих случаях не выполняются предположения с гомогенности и равновесии фаз.

2 Негомогенная равновесная модель, Moody (1965)

Расширение равновесной гомогенной модели, допускаются различные скорости воды и газа.

Вводится величина S =w_g/w_f.

Температура фаз одинаковая

Течение изоэнтропное

G зависит от локального статического давления p₂ и S.

G выбирают максимальным, варьируя p₂ и S.

При S=1 эта модель переходит в равновесную гомогенную модель.

Модели, учитывающие проскальзывание, хороши для длинных труб, но для коротких дают низкие значения.

Улучшенные модели

В общем случае при анализ критических течений двухфазных потоков необходимо рассматривать подвод тепла, трение о стенки трубы, неравновесные температурные и скоростные эффекты.

l - характеристические направления.

Условие критичности потока – неотрицательность всех характеристических направлений системы

l_j ³0.

Выражения для l_j получаются сложными.