Критерий устойчивости Гурвица

Алгебраический критерий устойчивости работает только на САУ 1 и 2-го порядка.

Для САУ более высокого порядка применяется критерий устойчивости Гурвица.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными главные определители Гурвица, составленные из квадратной матрицы коэффициентов характеристического уравнения.

Правило составления определителей Гурвица следующее:

1. По диагонали матрицы от левого верхнего угла до правого нижнего угла записываются все коэффициенты характеристического уравнения САУ от a₁ до a_n.

2. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше n, на месте его пишется нуль.

3. Из матрицы выбираются диагональные миноры и они являются определителями Гурвица.

Указанные определители Гурвица имеют вид:

... (1.6.14)

Пример. Рассмотрим устойчивость замкнутой системы (1.5.5) с передаточной функцией разомкнутой системы (рис.1.6.3).

.

Рис.1.6.3. Система дистанционного слежения:
СД - сельсин-датчик; СП - сельсин-приемник;
Р - редуктор; Д - двигатель; У - усилитель

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет третий порядок

1+W(P)=0, T₁T₂P³+(T₁+T₂)P²+P+K=a₀P³+a₁P²+a₂P+a₃=0. (1.6.15)

Определитель Гурвица будет иметь вид:

(1.6.16)

или

. (1.6.17)

Для K=80, T₁=0,12c, T₂=0,05c условие (1.6.17) не выполняется - система неустойчива. Для данных T₁ и T₂ система устойчива при K=K_кр=28.