Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы биномиальный и Пуассона

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т. е. между двумя соседними возможными значениями нет возможных значений), кото­рые эта величина принимает с определенными вероятностями. Дру­гими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной слу­чайной величины может быть конечным или бесконечным (в послед­нем случае множество всех возможных значений называют счетным).

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения xį, а вторая — вероятности рį:

X ….

….

где .

Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд + +… сходится и его сумма равна единице.

Закон распределения дискретной случайной величины X может быть также задан аналитически (в виде формулы)

или с помощью функции распределения (см. гл. VI, § 1).

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат

строят (xį,—возможные значения X, — соответствующие вероятности) и соединяют их от­резками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Биномиальнымназывают закон распределения дискретной слу­чайной величины Х-—числа появлений события в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения Х = k (числа k появлении события) вычисляют по формуле Бернулли:

Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную бытия формулу

где k – число появлений события в п независимых испытаниях, λ = пр (среднее число появлений события в п испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

54. Дискретная случайная величина X задана зако­ном распределения:

X 1 3 6 8

р 0,2 0,1 0,4 0,3

Построить многоугольник распределения.

Решение. Построим прямоугольную систему координат, при­чем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения xį, а по оси ординат — соответствующие вероятности рį -. Построим точки

и . Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения (рис. 5).

55. Дискретная случайная величина X задана зако­ном распределения:

а) X 2 4 5 6 б) X 10 15 20

р 0,3 0,1 0,2 0,4 р 0,1 0,7 0,2

Построить многоугольник распределения.

56. Устройство состоит из трех независимо работаю­щих элементов. Вероятность отказа каждого элемента ^в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение. Дискретная случайная величина X (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения: х1 = 0 (ни один из элементов устройства не отказал), x₂ = 1 (отказал один элемент), х₃ = 2 (отказали два элемента) и х₄ = 3 (от­казали три элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности от­каза каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, п = 3, р = 0,1 (следо­вательно,

q= 1 – 0,1=0,9), получим:

;

;

Контроль: 0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 =1.

Напишем искомый биномиальный закон распределения X:

X 0 1 2 3

р 0,729 0,243 0,027 0,001

57.В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и по­строить многоугольник полученного распределения.

58.Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X — числа появлений «герба» при двух бросаниях монеты.

59.Две игральные кости одновременно бросают два раза. Написать биномиальный закон распределения ди­скретной случайной величины X—числа выпадений чет­ного числа очков на двух игральных костях.

60.В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распре­деления числа стандартных деталей среди отобранных *).

Решение. Случайная величина X — число стандартных деталей среди отобранных деталей – имеет следующие возможные значения: х1 = 0 ; x₂ = 1; х₃ = 2. Найдем вероятности возможных значений X по формуле (см. задачу 17, гл. 1, § 1)

(N – число деталей в партии, п –число стандартных деталей в пар­тии, т – число отобранных деталей,

k – число стандартных деталей среди отобранных находим;

Составим искомый закон распределения:

X 0 1 2

р 1/45 16/45 28/45

Контроль: 1/45+16/45 + 28/45=1.

61.В партии из шести деталей имеется четыре стан­дартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.

62.После ответа студента на вопросы экзаменацион­ного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополни­тельные вопросы, как только студент обнаруживает не­знание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной дискретной величины X — числа дополнитель­ных вопросов, которые задаст преподаватель студенту; б) найти наивероятнейшее число k₀ заданных студенту дополнительных вопросов.

Решение, а) Дискретная случайная величина X — число за­данных дополнительных вопросов—имеет следующие возможные зна­чения: x1=l, х₂=2, х₃=3, ,.., Xn = k, ... Найдем вероятности этих возможных значений.

Величина X примет возможное значение x=l (экзаменатор задаст только один вопрос), если студент не ответит на первый воп­рос. Вероятность этого возможного значения равна 1—0,9 = 0,1.

Таким образом, Р(Х=1) = 0,1.

Величина X примет возможное значение х₂ = 2 (экзаменатор за­даст только два вопроса), если студент ответит на первый вопрос (вероятность этого события равна 0,9) и не ответит на второй (вероят­ность этого события равна 0,1). Таким образом, Р (Х=2)=0,9-0,1 =0,09.

Аналогично найдем

Напишем искомый закон распределения:

X 1 2 3 … k ...

р 0,1 0,09 0,081 ... ...

б) Наивероятнейшее число k₀ заданных вопросов (наивероятнейшее значение Х,) т.е число заданных преподавателем вопросов, которое имеет наибольшую вероятность, как следует из закона распределения, равно единице.