РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.

Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

Если а=0, то получим частный случай ряда Тейлора

Который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причём полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

1) вычислить значения функции и её последовательных производных в точке х=0, т.е. , ,

2) составить ряд Маклорена, подставив значения функции и её последовательных производных в формулу

3) найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

для разложения функции в ряд Тейлора необходимо:

1) Вычислить значения функции и её последовательных производных в точке х=а, т.е.

2) Составить ряд Тейлора, подставив значения функции и её последовательных производных в формулу.

3) Найти промежуток сходимости по формуле.

26. Разложить в ряд Маклорена функцию:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

1) Вычислим значения функции и её производных при х=0; имеем (n=1, 2, 3,…).

Подставив эти значения в формулу, получим разложение функции в ряд Маклорена:

Этот ряд называется экспоненциальным рядом.

Промежуток сходимости найдём по формуле

; ;

, т.е. .

Полученный ряд сходится к функции при любых значениях х, так как в любом промежутке функция и её производные по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом.

2) Вычислим значения функции и её производных при х=0, имеем Заметим, что производные чётного порядка а производные нечетного порядка (n=1, 2, 3, 4, …)

Подставив эти значения в формулу, получим разложение синуса в ряд Маклорена:

Промежуток сходимости полученного ряда найдём по формуле

,

Т.е. ряд сходится в промежутке .

3) Рассуждая так же, как и в п. 2, аналогично получаем

Причём этот ряд сходится в промежутке .

4) Вычислим значения функции и её производных при х=0; имеем

Подставив эти значения в формулу, получим разложение функции в ряд Маклорена:

Или

Промежуток сходимости найдём по формуле: . Следовательно, -1<x<1.

При х=-1 и х=1 ряд расходится, поэтому область сходимости ряда – промежуток -1<x<1.

5)I способ. Вычислим значения функции и её производных при х=0; имеем Отсюда следует, что

(n=1, 2, 3, 4, … )

Подставив эти значения в формулу, получим разложение данной функции в ряд Маклорена:

Этот ряд называется логарифмическим рядом.

Промежуток сходимости найдём по формуле: ,

, т.е. -1<x<1.

Исследуем сходимость ряда в точках x=-1 и x=1. При х=-1 ряд расходится как гармонический. При х=1 имеем знакочередующийся ряд

,

Который сходится по признаку Лейбница. Итак, данный ряд сходится в промежутке -1<x<1.