Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
Рассмотрим на плоскости кривую, которая является графиком дифференцируемой функции .
Определение 1.Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой её касательной на этом интервале.
Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой её касательной на этом интервале.
Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращённую выпуклостью вниз – вогнутой.
Теорема 1. Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т.е. , то кривая обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).
Теорема 2. Если во всех точках интервала вторая производная функции положительна, т.е. , то кривая обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).
Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.
В точке перегиба касательная пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.
Теорема 3 (необходимое условие точки перегиба). Для того чтобы график функции имел перегиб в точке , необходимо, чтобы функция была дифференцируема в точке , и чтобы в этой точке вторая производная либо не существовала, либо была равна нулю.
Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба).Пусть кривая определяется уравнением . Если или не существует и при переходе через точку производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой есть точка перегиба.
Пример: Найдите точки экстремума и точки перегиба функции .
Решение. Находим область определения функции: .
Первая производная функции равна:
.
Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: . При переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке функция имеет минимум. При переходе через точку производная не меняет знака, следовательно, в этой точке функция не имеет экстремума.
Найдём значение функции в точке минимума .
Вторая производная функции равна:
.
Приравняем вторую производную к нулю и найдем точки: . При переходе через эти точки производная меняет знак, следовательно, они являются точками перегиба.
Найдём значения функции в точках перегиба: , .
Результаты исследования сведены в таблицу:
x | |||||
- | + | + | |||
убывает | Возрастает | Возрастает | |||
x | |||||
+ | - | + | |||
вогнутость | выпуклость | Вогнутость |
Асимптоты.
Определение. Прямая A называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю.
Различаются вертикальные (параллельные оси ординат) и наклонные асимптоты.
1) Вертикальные асимптоты.
Если , или , то прямая есть асимптота кривой .
Пример: Найдите вертикальные асимптоты кривой .
Решение. Найдём область определения функции :
Найдём односторонние пределы:
; ;
; .
Прямые , являются вертикальными асимптотами.
2) Наклонные асимптоты.
Пусть кривая имеет наклонную асимптоту . Тогда , .
Пример: Найдите асимптоты кривой .
Решение. 1) Найдём односторонние пределы:
; .
- вертикальная асимптота.
2) Найдём коэффициенты k и b:
; .
Получаем уравнение наклонной асимптоты .
Дата добавления: 2022-05-27; просмотров: 100;