Элементы формальной логики, теории множеств и операций

Опр. Множество – совокупность объектов (частей всеобщности) выделяемых из всеобщности по факту удовлетворения (соответствия) указанному перечню признаков (свойств, характеристик).

Примеры:

1) множество целых чисел (счетное количество),

2) множество действительных чисел на отрезке [2, 5] (несчетное количество – continuum),

3) множество книг в библиотеке или документов в архиве (теоретически конечное),

4) множество разновидностей млекопитающих животных.

Опр. Выборка (массив) – конкретный (частный) набор конечного числа элементов, выбираемых из множества.

Примеры:

1) выборка (массив) из пяти целых чисел {-3, 2, 7, -6, 2}

2) массив из четырех точек плоскости, заданных декартовыми координатами (x_i, y_i) : { (2.5, 7.3), (-1.4, 0.3), (0. 21, -0.3), (8, 8)}

Опр. Операцией сравнения называется последовательность действий, проводимых над содержимым упорядоченной пары объектов (a, b), если ее результатом является булевская (логическая) переменная.

Математическая запись операции сравнения

либо true (1)

P(a, b) =

либо false (0)

Примеры записи конкретных операций сравнения:

P(a, b) = a<b сравнение чисел a и b «на возрастание их значений»,

P(a, b) = |a| > |b| сравнение векторов a и b «на убывание их модулей»,

P(a, b) = Sin(a) < Cos (b) сравнение чисел a и b «на возрастание значений функций Sin(a) и Cos(b) примененных, соответственно, к числам a и b»,

P(a, b) = (a=b) сравнение чисел a и b «на совпадение их значений».

Терминология: если P(a, b) = true, то говорят, что содержимое объекта a (или сам объект a ) предшествует (находится левее, появляется ранее, является первичным) содержимому объекта b (самому объекту b ).

Важно усвоить:

- если P(a, b) = false, то следует говорить, что объект a не предшествует объекту b, причем это отрицание вовсе не эквивалентно утверждению: объект b предшествует объекту a,

Опр. Множество {a_i} называется условно упорядоченным по операции сравнения Р, если для каждого его элемента a_i существует хотя бы один элемент a_j, такой что P(a_i, a_j)=true.

Опр. Множество {a_i} называется попарно упорядоченным по операции сравнения Р, если для любых его элементов a_i и a_j выполняется P(a_i, a_j) ≠ P(a_j, a_i), а сама операция сравнения P(a,b) называется антикоммутативной.

Пример: знакомая со школы операция сравнения чисел P(a,b)=a<b антикоммутаnивна!

Опр. Множество {a_i} является транзитивным по операции сравнения Р, а сама операция Р – транзитивной, если из условий P(a_i,a_j)=true и P(a_j,a_k)=true обязательно следует P(a_i, a_k) =true.

Опр. Множество {a_i} называется линейно упорядоченным по операции сравнения Р, если эта операция транзитивна и антикоммутативна.

Пример: числовые множества (натуральные, целые, рациональные и действительные) транзитивны по антикоммутативной операции сравнения P(a,b)=a<b.

Важно отличать свойство упорядоченности множества, от упорядоченности конечной выборки из некоего множества: из не упорядочиваемого множества иногда можно выбрать линейно упорядоченную совокупность элементов.