Преобразования Лоренца для координат и времени

Из постулатов СТО следует, что классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отчета к другой, заменяются другими, получившими название преобразований Лоренца.

Преобразования Лоренца показывают, что при переходе от одной инерциальной системы отчета к другой изменяются не только пространственные координаты, но и время событий. Если учесть принцип симметрии, то при скорости υ движущейся системы отчета K’ (x’, y’, z’) относительно неподвижной К (х, у, z), скорость движения К относительно K’ будет -υ. Преобразования Галилея, с учетом преобразований Лоренца для координат и времени, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой принимают вид:

К ® K’ K’ ® К

(7.7)

При малых скоростях υ <<c преобразования Лоренца переходят в классические преобразования Галилея (в этом заключается принцип соответствия). При скоростях υ>c выражение (7.7) теряет физический смысл, так как координата и время становятся мнимыми. Это значит, что движение со скоростями больше скорости света в вакууме, невозможно.

7.4. Следствия из преобразований Лоренца

Первое следствие касается изменения размеров движущегося тела относительно неподвижного наблюдателя. Пусть система К’ движется со скоростью υ относительно К вдоль оси х (рис.7.3).

Длина стержня АВ, расположенного параллельно оси х, будет для системы К’:

ℓ₀= х’₂ – х’₁,

а для системы К :

ℓ = х₂ - х₁.

Используя преобразования Лоренца (7.7), можно получить соотношение между ℓ и ℓ₀:

ℓ₀=х’₂ – х’₁=

т.е.

ℓ₀= , откуда . (7.8)

Рис.7.3

Поскольку υ<c, то для наблюдателя в неподвижной системе отсчета К, длина движущегося стержня (с ним связана система К’) укорачивается. Данное явление называется лоренцевым сокращением длины.

Второе следствиекасается разного течения времени в движущейся и неподвижной системе: для покоящегося наблюдателя событие длится дольше. Этот релятивистский эффект можно получить, используя преобразования Лоренца.

Пусть время начала и конца событий для наблюдателей в неподвижной и движущейся со скоростью υ системах отсчета будет соответственно (t₁ и t₂) и (t’₁ и t’₂). Тогда длительности событий для наблюдателей в этих системах:

t = t₂ - t₁ и t’ = t’₂ – t’₁ . (7.9)

Учитывая выражения (7.7) и (7.9), получим

или

(7.10)

Отсюда следует, что длительность событий минимальна в покоящейся системе отчета.

Релятивистский эффект замедления времени получил экспериментальное подтверждение. В состав космических лучей входят частицы, именуемые m-мезонами или мюонами. Они самопроизвольно распадаются на электрон (или позитрон ) и два нейтрино. Скорость движения мюона близка к скорости света c, а время его жизни около 2·10^-6с. За это время он может пройти путь порядка 600 м. Однако мюоны, преобразующиеся в космических лучах, на высоте 20-30 км достигают поверхности Земли. Это объясняется тем, что время жизни (2·10^-6 с) измерено в движущейся системе отсчета, а для неподвижного наблюдателя, связанного с Землей время жизни мюона гораздо больше.

7.5. Релятивистская динамика. Связь массы и энергии

Все три закона динамики Ньютона выполняются и в рамках специальной теории относительности с учетом зависимости массы тела от скорости. Эта зависимость установлена экспериментально и выражается формулой

, (7.11)

где m - масса покоящегося тела;

m₀ - релятивистская масса или масса движущегося тела.

Согласно СТО все законы природы и уравнения физических законов инвариантны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность выполняется и при преобразованиях Лоренца. Так в рамках СТО импульс тела описывается формулой

(7.12)

где - релятивистский импульс.

В релятивистской механике выполняются также законы сохранения релятивистского импульса и релятивистской массы.

Основной закон релятивистской динамики имеет вид:

(7.13)

Из теории относительности Эйнштейна вытекает фундаментальный закон природы: закон взаимосвязи массы и энергии. Этот закон формируется так: полная энергия системы E равна произведению полной релятивистской массы m на квадрат скорости света в вакууме с². Математическое выражение этот закон имеет вид:

Е = , (7.14)

где m₀ - масса покоя, а β = υ/c.

В релятивистской механике, также как и в механике классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия системы остается неизменной.

В релятивистской механике изменение кинетической энергии Т_к происходит при изменении релятивистской массы:

dT_k = c²dm,

где dm - приращение релятивистской массы. Тогда

T_k = . (7.15)

Полная энергия на основании закона взаимосвязи массы и энергии:

Е =

Из (7.14) и (7.15) видно, что T_k = Е – Е₀ .

Используя формулы (7.13) и (7.11) можно выразить полную энергию через импульс

Е² = Е²₀ + (pc)²

или

Закон взаимосвязи релятивистской массы и энергии подтвержден экспериментами и широко используется при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Специальная теория относительности и квантовая механика служат теоретической базой современной физики.