Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
В п. 1.2. рассматривали решение систем, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и с определителем из коэффициентов, от-личным от нуля. Метод Гаусса – еще один способ решения, не требующий таких ограничений.
Рассмотрим систему
Будем считать, что 
. Если 
, то перенумеровывая неиз-
вестные, получим первый коэффициент, отличный от нуля.
Умножим первое уравнение на 
и сложим почленно со вторым, затем первое умножим на 
и сложим с третьим. Продолжая этот процесс, получим равносильную систему при условии, что первое уравнение остается неизменным :
где 
- новые коэффициенты, 
- новые свободные члены.
Умножая второе уравнение на 
и складывая с соответ-
ствующими уравнениями, получим систему
Продолжая этот процесс, можем получить одну из следующих ситуаций:
1. Одно из уравнений системы имеет отличную от нуля правую часть и нулевые коэффициенты в левой. В этом случае система не имеет решений.
2. Система имеет вид
где 
Если m=n, то система совместна, имеет единственное решение. В этом случае из последнего уравнения определяется 
, из предпоследнего 
и так далее (обратный ход Гаусса).
Если m<n, то переменные 
- свободные переменные и, следо-вательно, переносятся в правую часть (см. п. 1.3.). Затем обратным ходом Гаусса переменные 
выражаются через свободные переменные.
В процессе последовательного исключения неизвестных могут поя-виться уравнения 0=0. Эти уравнения отбрасываются.
На практике удобнее работать не c системой (1.7), а с ее расширенной матрицей, так как в рассмотренном процессе преобразовываются коэффи-циенты при неизвестных, в расширенной матрице при этом производятся элементарные преобразования со строками.
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 196;
