Скатывание цилиндра с наклонной плоскости
Рис. 4.5 |
Будем считать, что скатывание цилиндра радиусом R происходит без скольжения. Силы, действующие на цилиндр, указаны на рис. 4.5. Сила Т – сила сцепления, которая обеспечивает скатывание цилиндра. Ось х удобно направить вдоль наклонной плоскости. Напишем законы движения, имея в виду, что через точку С проходит мгновенная ось вращения. Уравнения (4.11) имеют вид
, , (4.12)
где ; отсчет направлений вращения выбран так, чтобы угловая скорость ( ) увеличивалась при скатывании цилиндра.
Вычисляя Т из второго уравнения (4.12) и подставляя в первое, учитывая, что , получим
,
или
. (4.13)
Таким образом, центр масс цилиндра движется с постоянным ускорением .
Маятник Максвелла
Рис. 4.6 |
Маятник Максвелла представляет собой диск, подвешенный на нерастяжимой нити. Нить конечной длины намотана на ось диска и закреплена на оси (рис. 4.6). Уравнения движения маятника имеют вид
, , (4.14)
где - момент инерции всего диска относительно оси, проходящей через центр масс; - радиус оси диска, на которую намотана нить; Т – сила натяжения.
Структура уравнений маятника Максвелла полностью аналогична структуре уравнений цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости (уравнения 4.12) и решаются аналогично.
Получаем из (4.14)
откуда
(4.15)
Проследим динамику движения маятника. Ускорение диска всегда постоянно и направлено вниз. Его числовое значение тем меньше, чем больше момент инерции . При достаточно большом моменте инерции диск будет иметь малое ускорение. В пределе , , а ; так и должно быть, потому что диск просто висит на нити без движения. При сила натяжения нити . В этом случае диск свободно падает, и поэтому нить не испытывает никакого натяжения. Уравнения (4.14) и решение (4.15) не описывают поведение маятника в нижней «мертвой» точке. В этом положении центр масс диска испытывает большое ускорение. По третьему закону Ньютона, это приводит к большому натяжению нити. Если нить недостаточно прочна, то она может в этот момент порваться.
Рис. 4.7 |
Рассмотрим еще один пример плоского движения тела.
Пример. На двух нерастяжимых невесомых нитях одинаковой длины подвешен в точке О однородный стержень АВ массой m и длиной 2L (рис.4.7). Нити со стержнем образуют углы . В некоторый момент времени нить ОВ обрывается. Найти натяжение Т нити ОА непосредственно после момента обрыва.
Решение. Движение стержня после разрыва нити плоское. В момент разрыва ускорение центра находится по теореме об ускорениях при плоском движении. За полюс выберем точку А. Вычислим ускорение центра масс стержня АВ, т.е. ускорение точки С:
, (4.16)
здесь - ускорение полюса А, - ускорение центра масс при его вращении относительно полюса А. Поскольку точка А может двигаться только по окружности радиуса ОА, а ее скорость в момент обрыва нити равна нулю, то . Проекцию ускорения точки А по касательной обозначим .
Рис. 4.8 |
Обозначим модуль углового ускорения стержня через , а модуль угловой скорости через (начальный момент времени равен нулю). Тогда и направлена вдоль стержня от точки С к точке А; и направлена перпендикулярно стержню в точке А (рис. 4.8).
Выберем систему координат xСy, как показано на рис. 4.8. Тогда ускорение точки имеет следующие проекции на эти оси:
(4.17)
Поскольку закон плоского движения (4.11) с учетом (4.17) запишется
(4.18)
где учтено, что момент инерции стержня относительно его центра , равен .
Из третьего уравнения (4.18) выразим и подставим в первое уравнение, получим
.
Отсюда находим
.
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 633;