Центробежные моменты инерции. Главные оси инерции тела

В механике в качестве характеристик, учитывающих несимметричность в распределении масс, вводят еще так называемые центробежные моменты инерции. Если через любую точку O провести координатные оси оxyz, то по отношению к этим осям центробежными моментами инерции называют величины , определяемые равенствами:

(2.12)

где – массы точек; – координаты точек. Очевидно, что и т.д. Для твердых тел формулы (2.12) принимают вид

(2.12а)

В отличие от осевых центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, в частности, при определенном выборе осей могут обращаться в ну Рис. 2.4 ли.

Рассмотрим однородное тело, имеющее ось симметрии. Проведем координатные оси oxyz так, чтобы ось оz была направлена вдоль оси симметрии (рис. 2.4). В силу симметрии каждой точке тела с массой и координатами будет соответствовать точка с другим индексом, но с такой же массой и с координатами, равными . В результате получим, что (слагаемые попарно одинаковы по модулю и противоположны по знаку); отсюда, учитывая (2.12), находим, что

Ось 0z, для которой центробежные моменты инерции равны нулю, называется главной осью инерции тела.

Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции твердого тела.