Теория Кулона - Навье.

Навье модифицировал теорию Кулона, предположив, что нормальное напряжение, действующее в плоскости разрушения, повышает сопротивление материала сдвигу на величину, пропорциональную нормальному напряжению.

Если в двумерном случае σ_0,τ₀ - нормальное и касательное напряжения,

действующие в плоскости разрушения, то по теории Кулона - Навье разрушение произойдёт в том случае, когда касательное напряжение, действующее в плоскости разрушения, достигнет величины

(5.3)

где So - прочность материала при сдвиге.

Так как выражение , аналогично силе трения на наклонной плоскости, то коэффициент , назван коэффициентом внутреннего трения.

Этот критерий может быть записан в терминах нормального и касательного напряжений следующем образом

(5.4)

Тогда соотношение (5.3) может быть записано в виде

(5.5)

Это выражение имеет минимальную величину при таком значении , когда

tg = (5.6)

так что

So = (5.7)

Из равенства (5.6) следует, что >π/4, что находится в соответствии с экспериментальными данными. Таким образом, получили ещё две связанные друг с другом характеристики материала, характеризующие его свойства - угол внутреннего трения в и коэффициент внутреннего трения . Если являются

постоянной величиной, то из уравнения (5.7) следует, что разрушению должна соответствовать прямая линия в плоскости σ₁,σ₃ . Разрушению при одноосном

растяжении соответствует σ₁=0, σ₃= σ_раст. Тогда из (5.7) следует:

2S₀= ,

(5.8)

Разрушение при одноосном сжатии соответствует σ₁₌ σ_сж, σ₃=0, тогда

2S₀= (5.9)

Sо - прочность при растяжении,

В терминах σ_сж, и критерий Кулона - Навье имеет вид:

(5.10)

При =1;

При величинах σ₁, σ₃, лежащих слева от АВ, материал будет разрушаться, состояние правее линии АС не могут осуществляться, так как σ₁ > σ₃. Поэтому область состояния материала ограничена пространством между линиями АВ и АС. Постоянство наклона линии разрушения σ₁, σ₃ орошо выполняется для большинства вулканических пород и других твёрдых кристаллических пород. Однако для глинистых сланцев и карбонатов, наклон линий σ₁, σ₃ обычно уменьшается с увеличением σ₃.

Справедливость теории Кулона - Навье для разрушения при растяжении подвергается сомнению.

Если обозначить =tgφ, то уравнение (5.10) примет вид:

(5.11)

это уравнение достаточно хорошо выполняется в области сжатия, но не выполняется в области растяжения.

Прокомментируем критерий Кулона - Навье.

Длина отрезка ОА (рис 5.2)численно равна пределу прочности на растяжение, длина отрезка ОД - пределу прочности на сжатие. Ординаты кривой на участке ВС

соответствуют изменению сопротивления напряжения сдвига τ в зависимости от изменения величины нормальных напряжений σ_n. Линию ВС на некотором

участке можно считать прямой. .Отрезок, отсекаемый этой прямой от оси ординат, соответствует величине силы сцепления So, угол внутреннего трения пород θ, а тангенс этого угла численно равен коэффициенту внутреннего трения μ,( иногда обозначают f).

Очевидно, можно записать и так |τ₀| = S₀ +fσ_n , т.к. σ₀,σ_n связаны между собой.

рис 5.2 Иллюстрация критерия Кулона - Навье

Теория Мора.

В этой теории предполагается, что материал будет разрушен или неограниченно деформироваться. Когда касательное напряжение в плоскости разрушения достигнет определённой величины, зависящей от нормального напряжения , действующего в этой плоскости или когда наибольшее по абсолютной величине растягивающее главное напряжение достигнет величины .

Т.о., при разрушении или τ₀=-fσ_n или σ₃=-T₀

Функциональная зависимость определяется для данного материала экспериментально. Эта зависимость является огибающей кругов Мора для данных значений σ_1,σ₃, при разрушении. Если круг Мора касается огибающей,

то материал будет разрушаться по плоскости, наклонённой под углом θ к направлению максимального главного напряжения. Таким образом, эта теория характеризует предельное максимальное напряжение и показывает плоскость, по которой будет происходить разрушение. Эта теория также не справедлива для растягивающих напряжений. Существует ещё целый ряд теорий, основанных на достижение определённых предельных значений комбинаций главных и касательных напряжений.