Свойства скалярного произведения.

(переместительный закон).

(распределительный закон).

(сочетательный закон).

Если два ненулевых вектора заданы своими координатами

, то скалярное произведение этих двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

(1)

Тогда из (6.1) и (6.2) следует, что

(2)

При умножении вектора на число получается коллинеарный вектор.

Пусть , тогда

Признаком коллинеарности двух векторов является пропорциональность их координат:

(3)

Признак ортогональности двух векторов можно получить из (2)

Если ^ , то j =p/2, cosj=0

, т.е. x_a×x_b+ y_a×y_b+ z_a×z_b=0.

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов

=(3; 5; 1) и =(-1; 5; 2).

Используя формулу (2.8), получим

3(-1)+5×5+1×2=-3+25+2=24.

Пример. Найти угол между векторами

=(0; -1; +2) и =(1; -2; 3).

Получаем

4. Разложение вектора по ортам в пространстве R³

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат OXYZ в пространстве , и произвольный радиус вектор

М₃

М

О М₂

М₁

Р

Из точки M конца радиуса-вектора проведём прямую, параллельную оси OZ до пересечения в точке P с плоскостью OXY. Обозначим через M₁ и M₂ — соответственно, проекции точки P на оси OX и OY. Пусть M₃ – проекция точки M на ось OZ. Тогда будем иметь

Заменив векторы и равными им векторами и , получим

(4)

Равенство (4) показывает, что всякий вектор в R³ можно представить в виде суммы трёх векторов, лежащих на осях координат. От точки O в направлении каждой оси отложим по вектору длины, равной 1. Обозначим эти вектора через и , соответственно и назовём их ортами. Обозначим через x, y и z — проекции вектора на координатные оси OX, OY и OZ, соответственно. Так как векторы и лежат на одной оси OX, то = . Аналогично, = , = . Следовательно, равенство (4) может быть переписано в виде

(5)

Равенство (2.2) даёт разложение вектора по ортам . Вместо полной записи (2.2) часто пользуются сокращенной ={x, y, z }, где x, y, z — проекции вектора на координатные оси, которые будем называть координатами вектора .