Формула полной вероятности.

Формулы полной вероятности, Байеса и Бернулли.

Вывод этой формулы основывается на теоремах сложения и умножения.

Содержательная постановка задачи ИЛИ «вероятностная ситуация». Необходимо найти вероятность события A, которое обязательно происходит после наступления одного из событий Н₁, Н₂, …, H_n, образующих полную группу событий. Известны вероятности P(H_i) наступления каждого из событий Н_{i ,} а также условная вероятность P(A/H_i) наступления событияA, после того как Н_i произошло_.

События Н_i называются гипотезами.

Математическая постановка задачи.

Дано: Н₁, Н₂, …, H_nтакие, что Н_i Н_j= Æ при любых i и j, i¹j; ;

P(H_i) и P(A/H_i).

Найти P(A).

Доказательство.

Пусть А — некоторое событие, АÌ E.Диаграмма Венна представлена на рисунке.

Очевидно,

A = , причем все события несовместны. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий получаем

P(A) = P( ) + P( ) +...+ P( ).

События A и H_i зависимы по условию, тогда по теореме умножения для зависимых событий получаем

P(A)=P(H₁)P(A/ H₁) +P(H₂) P(A/ H₂) + ...+P(H_n) P(A/ H_n)=

= .

Это и есть формула полной вероятности.

Задача 1. 50% всех книг, имеющихся на книжном развале, изданы в Москве, 30% — в Петербурге и 20% — в других городах. Среди московских изданий 5% имеют полиграфические дефекты, петербургских — 5%, провинциальных — 10%. Случайным образом отобрана одна книга. Найти вероятность того, что она не содержит полиграфического брака.

Решение.

………………………………………………………………………………………

Ответ:

Формула Байеса.

Вывод и этой формулы основывается на теоремах сложения и умножения.

Содержательная постановка задачи ИЛИ «вероятностная ситуация».

Событие A произошло после наступления одного из событий Н₁, Н₂, …, H_n, образующих полную группу событий. Известны вероятности P(H_i) наступления каждого из событий Н_{i ,} а также условная вероятность P(A/H_i).наступления событияA,после того как Н_i произошло_. Необходимо найти вероятность, того что событие A свершилось после наступления какого-то определенного события Н_k.

Математическая постановка задачи.

Дано: Н₁, Н₂, …, H_nтакие, что Н_i Н_j = Æ при любых i и j, i¹j; ;

P(H_i) и P(A/H_i).

Найти P(H_k /A).

Доказательство.

Не умаляя общности, положим k=2. То есть определим вероятность того, что событие A произошло после наступления события Н_2.

Рассмотрим событие . События Н₂и Aзависимы, тогда по теореме умножения P = P(H₂) P(A /H₂). С другой стороны,

P = P(A) P(H₂/A).

P(H₂) P(A /H₂) = P(A) P (H₂/A).

Находим P(H₂/A)

, где

P(A) вычисляется по формуле полной вероятности

P(A) .

Теперь получаем формулуБайеса:

.

По формуле Байеса вычисляется вероятность любой из гипотез H_k при условии, что событие А произошло. В общем случае формула Байеса имеет вид

.

Задача 2. В дополнение к условиям Задачи 1 известно, что случайно выбранная книга имеет дефект. Найти вероятность того, что книга московского издательства.

………………………………………………………………………………………….

Ответ:

Формула Бернулли.

Вывод этой формулы также основывается на теоремах сложения и умножения.

Содержательная постановка задачи ИЛИ «вероятностная ситуация».

Проводится эксперимент, состоящий в многократном повторении одного и того же испытания. Испытания независимы. Результат каждого испытания либо событие A, либо . P(A) постоянна и равна p, тогда . Найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие A наступит ровно m раз. Обозначается P_n(m).

Доказательство.

Для наглядности выберем n=3 и m=2. Т.е. найдем вероятность того, что в серии из трех испытаний событие A произойдет дважды. Очевидно, это событие есть

.

События, представленные в скобках, несовместны. Поэтому по теореме сложения для несовместных событий

P₃(2)= .

События A и независимы по условию проведения опыта. По теореме умножения для независимых событий легко вычислить соответствующие вероятности. Очевидно, они равны между собой и составляют p²(1-p). Количество слагаемых есть . Почему? Тогда

P₃(2)= p²(1-p).

В общем случае количество слагаемых равно , и формула Бернулли имеет вид

P_n(m)= p^m(1-p)^n-m.

Задача 3. Вероятность попадания мячом в баскетбольную корзину равна 0,7. Делается 9 бросков. Определить вероятность того, что число попаданий будет равно 6.

Решение.

……………………………………………………………………………………

Ответ: