Уравнение неразрывности струи

Особенности расположения молекул в жидкости

Жидкость - одно из трёх агрегатных состояний вещества (не считая 4-го состояния, называемого "плазма" – вещество, частицы которого ионизированы). Все агрегатные состояния различаются организацией молекул. В отличие от твёрдого (кристаллического) состояния, характерного строго упорядоченным расположением частиц вещества (кристаллическая решётка), в жидкости нет дальнего (распространяющегося на весь кристалл) порядка расположения атомов (молекул). Для организации молекул жидкости характерен недолговечный "ближний порядок", при котором молекулы группируются небольшими "коллективами", причём время жизни молекулы в данном "коллективе" очень непродолжительно (~10^-11с). Затем происходит переход из одного "коллектива" в другой.

Жидкое состояние является промежуточным между твёрдым и газообразным состоянием вещества. Расстояние между молекулами в газах во много раз превышает размеры молекул. В жидкости же молекулы размещены вплотную друг к другу, со средним расстоянием между их центрами d порядка размера молекулы (d »10¸100 Å; где Å – ангстрем, 1 Å =10^{-10 м}). Поэтому, плотности жидкостей на несколько порядков больше плотностей газов, и почти не отличаются от плотностей твёрдых тел. Более того, плотность металлов при плавлении уменьшается в среднем на 3%.

Основные свойства жидкостей:

1)текучесть;объясняется преимущественными переходами молекул из одного "коллектива" в другой в направлении действия внешней силы (например, силы тяжести); если внешние силы скомпенсированы, то переходы молекул из одного положения равновесия ("коллектива") в другое происходят с одинаковой частотой и жидкое тело сохраняет свою форму;

2) несжимаемость (по сравнению с газами); объясняется достаточно плотным расположением молекул в жидкости. Примеры: а) удар молотом по полому металлическому ядру, заполненному жидкостью Þ поверхность ядра покрывается "испариной"; б) "потение" цилиндров гидравлических машин; в) на глубине »1 км в море, где давление достигает 100 атмосфер, плотность воды увеличивается всего на 0,5%.

Идеальная жидкость

Идеальной называют абсолютно несжимаемую жидкость, молекулы которой не притягиваются друг к другу.

Уравнение неразрывности струи

Линии тока – линии, касательные к которым в каждой точке потока совпадают с направлением скорости частиц жидкости. Линии тока не пересекаются между собой (иначе получилось бы, что в точке их пересечения частица жидкости имеет два направления движения). Значит, жидкость не проникает сквозь поверхность, образованную линиями тока.

Трубка тока - объём жидкости, ограниченный линиями тока. Рассмотрим такую трубку тока идеальной жидкости, в произвольном поперечном сечении которой скорость частиц жидкости одинакова. Выберем два любых сечения такой трубки тока: , характеризуемое скоростью , и , характеризуемое . Так как идеальная жидкость несжимаема, а её поток неразрывен и не проходит через боковую поверхность трубки, то за время через оба сечения пройдут одинаковые объёмы V жидкости:

= , т.е. = . (*)

Выражение (*) называют уравнением неразрывности струи; оно хорошо применимо не только для каналов с вязкой жидкостью, но и с газом.

Вывод:при сужении канала скорость течения жидкости в нём увеличивается, при расширении - уменьшается.

4.2.2. Уравнение Бернулли (1738 г., Швейцария)

Выделим в ламинарном (не имеющем вихрей) потоке идеальной жидкости наклонную трубку тока, а в ней область, ограниченную сечениями S₁ и S₂. Определим изменение механической энергии , происходящее в этой области за . За это время в выделенную область втекает масса жидкости, ограниченная сечениями S₁ и вытекает - . Тогда:

.

В силу непроницаемости для жидкости стенок трубки тока, имеем = . Тогда можно записать:

DW= + - . (**)

Но, согласно закону сохранения энергии, равно работе Авнешних сил (давления) и по перемещению массы жидкости внутри выделенного объёма: А = А₁ + А₂, где А₁ = ,А₂ = (знак ‘-‘ учитывает тот факт, что сила направлена навстречу потоку жидкости). Учитывая, что (где р - давление), получим :

- = , (***)

DV

DV

Приравняв (**) и (***), получим:

+ + = + + .

Разделив обе части последнего уравнения на и учтя, что (плотность), получим:

+ + = + + .

Так как сечения S₁иS₂были выбраны произвольно, то:

Уравнение Бернулли

+ + р = const

О физическом смысле слагаемых, входящих в уравнение Бернулли: - кинетическая энергия единицы объёма жидкости; - потенциальная энергия единицы объёма жидкости в гравитационном поле планеты; р - потенциальная энергия единицы объёма жидкости, обусловленная силами внешнего давления.

С другой стороны, так как единицы измерения всех слагаемых уравнения - Па(скаль), то эти слагаемые можно рассматривать и как давления: - динамическое (обусловленное движением жидкости), - весовое (обусловленное гравитационным притяжением жидкости к Земле), р– статическое, равное внешнему давлению, оказываемому на жидкость (например, давление поршня или атмосферы).

Вывод: в установившемся потоке жидкости сумма всех видов давления в любом поперечном сечении потока неизменна.

4.3.3. Частные случаи применения уравнения Бернулли

1) Горизонтальная труба переменного сечения (h₁=h₂, S₁¹S₂).

В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:

= .

Так как модуль скорости зависит от площади поперечного сечения S, то величину Sможно выбрать столь малой, что динамическое давление значительно возрастёт, а статическое давление р станет меньше атмосферного р_о,и такая труба начнёт всасывать воздух, т.е. в сужениях (где скорость увеличивается) горизонтального канала статическое давление понижается. На этом принципе работают водоструйные насосы, ингаляторы, пульверизаторы.

2) Измерение скорости жидкости трубкой Пито.

Давления на входных отверстиях прямой и изогнутой трубок отличаются на величину динамического давления , которое уравновешивается дополнительным гидростатическим давлением более высокого столба жидкости . Из равенства = получим: = .

3) Истечение жидкости из отверстия. Формула Торричелли.

Так как >> , то, в силу уравнения неразрывности струи, << и можно положить . Кроме того, учтём, что внешнее (атмосферное) давление на уровнях 1и 2практически одинаковое, т. е. . Тогда из уравнения Бернулли имеем: = + , откуда получаем формулу Торричелли: = = , согласно которой скорость вытекающей струи равна скорости свободно падающего с высоты Dh тела.